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| Aufgabe | | [mm] $Q=\{(x_1 , x_2 , x_3 )\in\IR^3 | -x_1^2 +x_3^2 +4x_1 x_2-4x_2 x_3 +\bruch{8}{3}x_1+\bruch{10}{3}x_2-\bruch{4}{3}x_3+\bruch{1}{3}=0\}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich will og Quadrik in die euklidische Normalenform überführen. Dazu berechne ich die Transformationsmatrix über die Eigenvektoren - was ich auch hinbekommen habe.
[mm] $T=\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 }$
[/mm]
Nun geht es mit folgender Gleichung weiter:
[mm] $\vec{y}^T (T^{-1} [/mm] A [mm] T)\vec{y}+2(T^{-1} \vec{a})\vec{y}+c=0 [/mm] $ (*)
Hier liegt mein Problem. Ich bekomme einfach nicht den Ausdruck [mm] $(T^{-1} [/mm] A T)$ hin. Es soll ja auch den Fall geben, bei dem man [mm] $T^{-1}$ [/mm] mit [mm] $T^T$ [/mm] ersetzen darf - oder gar einer Matrix D mit den Eigenwerten von A als Spur und den Rest voller 0en. Wann ist das so?
Jedenfalls komme ich, egal wie ich es rechne, nicht auf die gewünschte Form von
[mm] $3y_1^2 -3y_2^2 +4y_1 +2y_3 +\bruch{1}{3}=0$
[/mm]
Weiter:
[mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}} \wedge [/mm] c = [mm] \bruch{1}{3} \wedge A=\pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 }$
[/mm]
In meinen Aufschrieben steht, dass
[mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}}$
[/mm]
sein soll, da würde sich das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aber wieder mit dem Faktor 2 aus Gl. (*) rauskürzen.
Ich bin leicht verzweifelt.
Danke für Hilfe
Grüße
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast,
> [mm]Q=\{(x_1 , x_2 , x_3 )\in\IR^3 | -x_1^2 +x_3^2 +4x_1 x_2-4x_2 x_3 +\bruch{8}{3}x_1+\bruch{10}{3}x_2-\bruch{4}{3}x_3+\bruch{1}{3}=0\}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> ich will og Quadrik in die euklidische Normalenform
> überführen. Dazu berechne ich die Transformationsmatrix
> über die Eigenvektoren - was ich auch hinbekommen habe.
>
> [mm]T=\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Nun geht es mit folgender Gleichung weiter:
>
> [mm]\vec{y}^T (T^{-1} A T)\vec{y}+2(T^{-1} \vec{a})\vec{y}+c=0[/mm]
> (*)
>
> Hier liegt mein Problem. Ich bekomme einfach nicht den
> Ausdruck [mm](T^{-1} A T)[/mm] hin. Es soll ja auch den Fall geben,
> bei dem man [mm]T^{-1}[/mm] mit [mm]T^T[/mm] ersetzen darf - oder gar einer
> Matrix D mit den Eigenwerten von A als Spur und den Rest
> voller 0en. Wann ist das so?
> Jedenfalls komme ich, egal wie ich es rechne, nicht auf
> die gewünschte Form von
>
> [mm]3y_1^2 -3y_2^2 +4y_1 +2y_3 +\bruch{1}{3}=0[/mm]
Es muss auch gerechnet werden: [mm]T^{T}*A*T=\left(T^{T}*A\right)*T=T^{T}*\left(A*T\right)[/mm]
Demnach lautet die Gleichung:
[mm]\vec{y}^T (T^{T} A T)\vec{y}+2(T^{T} \vec{a})\vec{y}+c=0[/mm]
Dann kommt auch das gewünschte heraus.
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> Weiter:
>
> [mm]\vec{a} = \vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}} \wedge c = \bruch{1}{3} \wedge A=\pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 }[/mm]
>
> In meinen Aufschrieben steht, dass
> [mm]\vec{a} = \bruch{1}{2}\vektor{\bruch{8}{3} \\ \bruch{10}{3} \\ -\bruch{4}{3}}[/mm]
>
> sein soll, da würde sich das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] aber wieder mit
> dem Faktor 2 aus Gl. (*) rauskürzen.
>
> Ich bin leicht verzweifelt.
>
>
> Danke für Hilfe
> Grüße
> Slartibartfast
>
Gruß
MathePower
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Erstmal vielen Dank, ich bin jetzt auch auf das gesuchte Ergebnis gekommen - aber warum darf ich [mm] $T^{-1}=T^{T}$ [/mm] setzen? Und wann gilt der Fall [mm] $(T^{-1}AT)=D=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }$
[/mm]
Und was ist mit dem [mm] $\bruch{1}{2}*2$ [/mm] bei [mm] $T^{T}*\vec{a}$
[/mm]
??
Gruß
Slartibartfast
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Hallo Slartibartfast,
> Erstmal vielen Dank, ich bin jetzt auch auf das gesuchte
> Ergebnis gekommen - aber warum darf ich [mm]T^{-1}=T^{T}[/mm]
> setzen? Und wann gilt der Fall [mm](T^{-1}AT)=D=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }[/mm]
Hier darf man [mm]T^{-1}=T^{T}[/mm] setzen, weil die Matrix T eine orthonormale Matrix ist.Demnach hast Du Dich wahrscheinlich bei der Berechung von [mm]T^{-1}[/mm] vertan.
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> Und was ist mit dem [mm]\bruch{1}{2}*2[/mm] bei [mm]T^{T}*\vec{a}[/mm]
Nach den Aufschrieben ist [mm]x^{T}*A*x+2*a^{T}*x+d=0[/mm]
Andererseits haben wir: [mm]x^{T}*A*x+u^{T}*x+d=0[/mm]
Wenn nun laut Skript [mm]\overrightarrow{a}=\bruch{1}{2}*\overrightarrow{u}[/mm] ist und ich das in die Gleichung nach den Aufschrieben einsetze, habe ich eine Gleichung, die identisch mit der darunterstehenden ist.
Richte Dich also immer nach den Aufschrieben.
>
> ??
>
> Gruß
> Slartibartfast
Gruß
MathePower
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Dankeschön, dann hoffe ich mal, dass morgen eine Quadrik drankommt.
Gruß
Slartibartfast
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