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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 23.01.2014 | | Autor: | Huf99 |
| Aufgabe | Berechen Sie die Eigenwerte, zugehörige (normierte) Eigenvektoren und die Matrix Q zur Koordinatentransformation bzgl. einer Basis aus Eigenvektoren und damit die Diagonalmatrix, welche die Abbildung beschreibt, wie
[mm] A=\begin{pmatrix}
5 & -\wurzel{3} & 0 \\
-\wurzel{3}& 7 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] |
Nun habe ich die Eigenwerte berechnet:
Eigenwerte 4;8;1
Habe dann die Eigenvektoren ausgerechnet:
[mm] \begin{pmatrix} \wurzel{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} \bruch{-1}{3}* \wurzel{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Diese sind paarweise orthogonal zueinander, daher sollte Q die Matrix aus den Eigenvektoren sein:
[mm] Q=\begin{pmatrix}\wurzel{3} & \bruch{-1}{3}* \wurzel{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt kann ich die Inverse Matrix zu Q ausrechnen.
[mm] Q^-1\begin{pmatrix}\bruch{\wurzel{3}}{4} & \bruch{1}{4} & 0 \\ \bruch{-\wurzel{3}}{4} & \bruch{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Mit Q^-1 * A * Q bekomme ich die Diagonal Matrix D.
Frage:
Mein Problem ist, das man bei orthogonal Matrizen, anstatt der Inversen Matrix auch die Transponierte Matrix benutzen kann da diese gleich sein sollten. Aber hier funktioniert das nicht, den mit der Transponierten Matrix wird A nicht diagonalisiert.
Wo ist mein Fehler ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Huf99,
> Berechen Sie die Eigenwerte, zugehörige (normierte)
> Eigenvektoren und die Matrix Q zur
> Koordinatentransformation bzgl. einer Basis aus
> Eigenvektoren und damit die Diagonalmatrix, welche die
> Abbildung beschreibt, wie
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}
5 & -\wurzel{3} & 0 \\
-\wurzel{3}& 7 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun habe ich die Eigenwerte berechnet:
>
> Eigenwerte 4;8;1
>
> Habe dann die Eigenvektoren ausgerechnet:
>
> [mm]\begin{pmatrix} \wurzel{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} \bruch{-1}{3}* \wurzel{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Diese sind paarweise orthogonal zueinander, daher sollte Q
> die Matrix aus den Eigenvektoren sein:
>
> [mm]Q=\begin{pmatrix}\wurzel{3} & \bruch{-1}{3}* \wurzel{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt kann ich die Inverse Matrix zu Q ausrechnen.
>
> [mm]Q^-1\begin{pmatrix}\bruch{\wurzel{3}}{4} & \bruch{1}{4} & 0 \\ \bruch{-\wurzel{3}}{4} & \bruch{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Mit Q^-1 * A * Q bekomme ich die Diagonal Matrix D.
>
> Frage:
>
> Mein Problem ist, das man bei orthogonal Matrizen, anstatt
> der Inversen Matrix auch die Transponierte Matrix benutzen
> kann da diese gleich sein sollten. Aber hier funktioniert
> das nicht, den mit der Transponierten Matrix wird A nicht
> diagonalisiert.
>
> Wo ist mein Fehler ?
>
Damit [mm]Q^{-1}=Q^{T}[/mm] gilt,
müssen die Eigenvektoren den Betrag 1 haben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Do 23.01.2014 | | Autor: | Huf99 |
Ok das habe ich mir auch schon gedacht und hab es auch schon mit den normierten Eigenvektoren versucht:
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{3} }{2} \\ \bruch{1 }{2} \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} \bruch{-2 }{3} \\ \bruch{2*\wurzel{3} }{3} \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun selbst mit diesen normierten Eigenvektoren funktioniertes nicht leider weiß ich net wo der Fehler liegt ):
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Hallo Huf99,
> Ok das habe ich mir auch schon gedacht und hab es auch
> schon mit den normierten Eigenvektoren versucht:
>
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{\wurzel{3} }{2} \\ \bruch{1 }{2} \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} \bruch{-2 }{3} \\ \bruch{2*\wurzel{3} }{3} \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun selbst mit diesen normierten Eigenvektoren
> funktioniertes nicht leider weiß ich net wo der Fehler
> liegt ):
>
Der 2. Vektor ist nicht normiert.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 23.01.2014 | | Autor: | Huf99 |
Ok danke für die Antwort, aber irgendwie seh ich meinen Fehler beim 2. Vektor nicht wie wäre er den richtig normiert ?
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Hallo Huf99,
> Ok danke für die Antwort, aber irgendwie seh ich meinen
> Fehler beim 2. Vektor nicht wie wäre er den richtig
> normiert ?
Der 2. Vektor muss dann so lauten:
[mm]\pmat{-\bruch{1}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} \\ 0}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Do 23.01.2014 | | Autor: | Huf99 |
Danke du antwortest richtig schnell :D
Jetzt hab ich meinen Fehler gesehn und jetzt funktionierts auch.
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