www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Hauptachsen gedrehte Ellipse
Hauptachsen gedrehte Ellipse < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hauptachsen gedrehte Ellipse: Berechnung der Hauptachsen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Di 21.02.2017
Autor: mathfr3ak

Aufgabe
Gegeben ist eine Ellipse
x=u1a*sin(pi/2-t)+u2a*sin(t)
y=v1a*cos(t)+v2a*cos(pi/2-t)

t von 0 bis 2pi
Beispielwerte:
u1a=37.5
u2a=-21.65
v1a=61.24
v2a=-61.24

In Matlab kann ich mir x und y als Ellipse darstellen
plot(x,y)
Von dieser Ellipse möchte ich aus den angegebenen Formeln für x und y die große Hauptachse berechnen. Wie kann ich das machen?

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Hauptachsen gedrehte Ellipse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 23.02.2017
Autor: leduart

Hallo
1. ich würde erstmal Staat [mm] sin(\pi/2-t)=cos(t) [/mm] und [mm] cos(\pi/2-t)=sin(t) [/mm] schreiben
dann das Max  und Min von [mm] x^2+y^2 [/mm] bestimmen, das die Scheitelpunkte liefert.
Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
Hauptachsen gedrehte Ellipse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Fr 24.02.2017
Autor: Leopold_Gast

Ein anderer Vorschlag. Man faßt das Gleichungssystem

[mm]\text{(1)} \ \ x = 37{,}5 \cos t - 21{,}65 \sin t[/mm]

[mm]\text{(2)} \ \ y = 61{,}24 \cos t - 61{,}24 \sin t[/mm]

als lineares Gleichungssystem in [mm]\sin t, \cos t[/mm] auf und löst auf:

[mm]\sin t = u(x,y) \, , \ \ \cos t = v(x,y)[/mm] mit geeigneten Linearformen [mm]u(x,y)[/mm] und [mm]v(x,y)[/mm].

Aus [mm]\sin^2 t + \cos^2 t = 1[/mm] erhält man, indem man diese Linearformen einsetzt, die Gleichung

[mm]q(x,y) = 0[/mm] mit der quadratischen Form [mm]q(x,y) = \left( u(x,y) \right)^2 + \left( v(x,y) \right)^2 - 1[/mm]

Jetzt kann man die Hauptachsentransformation durchführen.

Die Sache hat mich interessiert. Ich habe die Aufgabe einmal allgemein gelöst. Gegeben sei die Parameterdarstellung

[mm]x = a \cos t + b \sin t \, , \ \ y = c \cos t + d \sin t \, ; \ \ t \in [-\pi,\pi][/mm]

Mit den Determinanten

[mm]\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \, , \ \ \Delta_{\cos} = \begin{vmatrix} x & b \\ y & d \end{vmatrix} = dx - by \, , \ \ \Delta_{\sin} = \begin{vmatrix} a & x \\ c & y \end{vmatrix} = -cx + ay[/mm]

bekommt man nach der Cramerschen Regel

[mm]\cos t = \frac{\Delta_{\cos}}{\Delta} \, , \ \ \sin t = \frac{\Delta_{\sin}}{\Delta}[/mm]

Wir setzen hierbei [mm]\Delta \neq 0[/mm] voraus.

Setzt man das in [mm]\cos^2 t + \sin^2 t = 1[/mm] ein, so erhält man

[mm]{\Delta_{\cos}}^2 + {\Delta_{\sin}}^2 = \Delta^2[/mm]

Ausgedrückt in [mm]x,y[/mm] ist das

[mm]\left( c^2 + d^2 \right) x^2 + \left( a^2 + b^2 \right) y^2 - 2 \left( ac + bd \right) xy = \Delta^2[/mm]

Mit Hilfe der symmetrischen Matrix

[mm]S = \begin{pmatrix} c^2 + d^2 & -(ac+bd) \\ -(ac+bd) & a^2 + b^2 \end{pmatrix}[/mm]

kann man die quadratische Form so schreiben

[mm]\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} S \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \Delta^2[/mm]

Nun bestimmt man die Eigenwerte von [mm]S[/mm]. Man erhält dafür

[mm]\lambda = \frac{1}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + \sqrt{D} \right) \, , \ \ \mu = \frac{1}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - \sqrt{D} \right)[/mm]

mit [mm]D = \left( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \right)^2 - 4 \Delta^2 = \left( (a+d)^2 + (b-c)^2 \right) \left( (a-d)^2 + (b+c)^2 \right)[/mm]

Zu [mm]\lambda, \mu[/mm] gehören die Eigenvektoren

[mm]u = \begin{pmatrix} ac+bd \\ \frac{1}{2} \left( -a^2 - b^2 + c^2 + d^2 - \sqrt{D} \right) \end{pmatrix} \, , \ \ v = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \left( a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + \sqrt{D} \right) \\ ac+bd \end{pmatrix}[/mm]

Beide Eigenwerte sind positiv. Bei [mm]\lambda[/mm] ist das offensichtlich. Wegen

[mm]\lambda \mu = \frac{1}{4} \left( \left( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \right)^2 - D \right) = \Delta^2 > 0[/mm]

ist auch [mm]\mu > 0[/mm].

Führt man also durch

[mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{\xi}{|u|} u + \frac{\eta}{|v|} v[/mm]

neue Koordinaten [mm]\xi, \eta[/mm] ein, erhält man die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse:

[mm]\frac{\lambda}{\Delta^2} \xi^2 + \frac{\mu}{\Delta^2} \eta^2 = 1[/mm]

Die Halbachsen der Ellipse sind also

[mm]p = \frac{|\Delta|}{\sqrt{\lambda}}[/mm] (in Richtung [mm]u[/mm]) und [mm]q = \frac{|\Delta|}{\sqrt{\mu}}[/mm] (in Richtung [mm]v[/mm])

Mit den Zahlenwerten

[mm]a = 37{,}5 \, ; \ \ b = -21{,}65 \, ; \ \ c = 61{,}24 \, ; \ \ d = -61{,}24[/mm]

berechnet man gerundet

[mm]\Delta = -970{,}654 \, ; \ \ D = 84134093{,}044 \, ; \ \ \lambda = 9274{,}056 \, ; \ \ \mu = 101{,}592[/mm]

[mm]p = 10{,}079 \, ; \ \ q = 96{,}302[/mm]

Wenn man will, kann man auch die Scheitelpunkte berechnen. Die Ortsvektoren sind

[mm]\pm \frac{p}{|u|} \cdot u[/mm] und [mm]\pm \frac{q}{|v|} \cdot v[/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]