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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Sei [mm] \summe a_k [/mm] die Reihe, die aus der harmonischen Reihe entsteht, wenn man sämtliche Glieder streicht, deren Nenner in Dezimalschreibweise die Ziffer 9 enthält. Konvergiert diese Reihe? |
Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Reihe nicht konvergiert (auch wenn einige Folgenglieder fehlen, so bleibt es im Prinzip ja immer noch eine Reihe, die der harmonischen ähnlich funktioniert: Denn obwohl die Folgenglieder (nun etwas schneller) kleiner werden, sind sie ja immer noch alle >0 (wenn auch noch so klein bei entsprechend großen k)...
Also dürfte die gesamte Reihe gegen [mm] +\infty [/mm] divergieren.
Nur, wie notiere ich das, bzw. wie zeige ich das formal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 28.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei [mm]\summe a_k[/mm] die Reihe, die aus der harmonischen Reihe
> entsteht, wenn man sämtliche Glieder streicht, deren Nenner
> in Dezimalschreibweise die Ziffer 9 enthält. Konvergiert
> diese Reihe?
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Reihe nicht
> konvergiert
Erstaunlicherweise konvergiert sie, man kann das mit einer geeigneten geometrischen Reihe abschätzen, wenn ich mich recht erinnere. Dazu muß man sich überlegen, wie viele Zahlen zwischen [mm] 10^{n} [/mm] und [mm] 10^{n+1} [/mm] keine Ziffer 9 enthalten und was die entsprechenden Summanden zur unendlichen Summe beitragen, so langsam fällt es mir wieder ein.
Mach du erstmal weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 28.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ich habe mir nun mal etwas länger Gedanken darüber gemacht, wie viele Folgenglieder da effektiv wegfallen...
[mm] 10^0 [/mm] : 0
[mm] 10^1 [/mm] : 1 (die 9)
[mm] 10^2 [/mm] : 19 (9, 19, 29, ... , 89, 90, 91, ..., 99)
[mm] 10^3 [/mm] : 171 (= [mm] 10^2 [/mm] + [mm] 9^1 [/mm] * 19)
[mm] 10^4 [/mm] : 2539 (= [mm] 10^3 [/mm] + [mm] 9^2 [/mm] * 19)
[mm] 10^n [/mm] : [mm] 10^{n-1} [/mm] + [mm] 9^{n-2} [/mm] * 19
Das sind durchaus eine ganze Menge. Bloß bin ich mir nicht sicher, was ich nun damit anfange.
Ich habe hier jetzt rekursiv eine Folge mit der Anzahl der "Fehlglieder" konstruiert - kann ich das irgendwie einfließen lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Do 29.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich habe mir nun mal etwas länger Gedanken darüber gemacht,
> wie viele Folgenglieder da effektiv wegfallen...
Das ist schön, ich nämlich auch...
>
> [mm]10^0[/mm] : 0
> [mm]10^1[/mm] : 1 (die 9)
> [mm]10^2[/mm] : 19 (9, 19, 29, ... , 89, 90, 91, ..., 99)
> [mm]10^3[/mm] : 171 (= [mm]10^2[/mm] + [mm]9^1[/mm] * 19)
> [mm]10^4[/mm] : 2539 (= [mm]10^3[/mm] + [mm]9^2[/mm] * 19)
>
> [mm]10^n[/mm] : [mm]10^{n-1}[/mm] + [mm]9^{n-2}[/mm] * 19
Genauer gesagt, habe ich mir überlegt, wie viele übrigbleiben. Im einstelligen Bereich sind das 8, und alle Summanden sind kleiner/gleich 1. Im zweistelligen Bereich sind das 72, weil ich für die 1. Ziffer 8 Möglichkeiten habe und für die 2. Ziffer 9 Möglichkeiten. Alle diese Summanden sind kleiner/gleich 1/10. Im dreistelligen Bereich sind das 8*9*9, und die Summanden sind kleiner/gleich 1/100 usw. usw. Jetzt kann ich die Summe s abschätzen:
s [mm] \le [/mm] 8 + [mm] 8*\bruch{9}{10} [/mm] + [mm] 8*\bruch{9^{2}}{10^{2}} [/mm] + ... = [mm] 8*\bruch{1}{1-\bruch{9}{10}} [/mm] = 80.
Ich erinnere mich dunkel, daß ich auch schon mal eine viel bessere Abschätzung gesehen habe. Aber die Aufgabe ist auch so gelöst.
Gruß aus HH-Eimsbüttel (heute mal)
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Do 29.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Danke. Deine Abschätzung ist schon super - denn mit
s [mm] \le [/mm] 8 + 8 [mm] \* \bruch{9}{10} [/mm] + ... = [mm] \summe_{k\ge0} [/mm] 8 [mm] \* (\bruch{9}{10})^k [/mm] = 8 [mm] \* \summe_{k\ge0} (\bruch{9}{10})^k [/mm] = 8 * [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{9}{10}} [/mm] = 80.
habe ich ja bereits meine konvergente Majorante und bin glücklich :)
Aber das Wichtigste ist: Ich glaube, ich habe das Prinzip verstanden. ;)
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