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| Aufgabe | | [mm]H^p \subseteq A^{2p}[/mm] |
Hallo,
ich möchte für meine Bachelorarbeit die obige Inklusion zeigen...
[mm]H^p[/mm] bezeichnet dabei den Hardy-Raum, und [mm]A^{2p}[/mm] den Bergmanraum, beides auf der Einheitskreisscheibe.
Ich habe einen Beweis vorliegen, aber der benutzt eine Ungleichung die ich erst nicht beweisen konnte und für die ich jetzt ein Gegenbeispiel gefunden habe (zumindest wenn ich mich nicht verrechnet habe...).
Kann mir jemand einen Tipp geben, wo ich einen Beweis dazu finde, oder mir sagen, ob das überhaupt gilt?
Vielen Dank im Vorraus,
Reticella
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Hallo,
genauso bin ich auch vorgeganngen :).
Dann habe ich die Funktion als Taylorentwicklung geschrieben, und in die Normen eingesetzt.
Nimmt man zuerst p=2 an kann man einige Eigenschaften ausnutzen. Ich brauche jetzt nur noch folgenden Ungleichung:
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} \left| \sum\limits_{k=0}^{n} a_k a_{n-k} \right|^2 \right) \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \left| a_k \right|^2 \left| a_{n-k} \right|^2=:\blacksquare[/mm]
wobei die [mm]a_n[/mm] die Koeffizienten aus der Taylorentwicklung sind.
Angeblich geht das mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Wenn ich die anwende komme ich zu:
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} \left| \sum\limits_{k=0}^{n} a_k a_{n-k} \right|^2 \right) \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^{n} \left| a_k \right|^2 \sum\limits_{k=0}^{n} \left| a_{n-k} \right|^2=: \star[/mm]
Nehme ich nun z. B. die Funktion [mm]f(x)=1/2[/mm] dann habe ich [mm]a_0=1[/mm] und [mm]a_n=0[/mm] für alle [mm]n \geq 1[/mm] in der Taylorentwicklung.
Dann bekomme ich auf jeden Fall, dass [mm]\star=1+1/2+.....[/mm] (nur positive Terme) ist und [mm]\blacksquare=1[/mm], also [mm]\blacksquare\leq\star[/mm].
D. h. die Cauchy-Schwarz-Ungleichung kann mir in der Form nicht helfen um die Ungleichung zu zeigen.
Kann mir jemand sagen, wo ich mich verrechnet habe, oder ob da sonst irgendein Denkfehler drinsteckt?
Vielen Dank,
Reticella
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 05.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> genauso bin ich auch vorgeganngen :).
> Dann habe ich die Funktion als Taylorentwicklung
> geschrieben, und in die Normen eingesetzt.
Warum? Das hoert sich unnoetig kompliziert an.
> Nimmt man zuerst p=2 an kann man einige Eigenschaften
> ausnutzen. Ich brauche jetzt nur noch folgenden
> Ungleichung:
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} \left| \sum\limits_{k=0}^{n} a_k a_{n-k} \right|^2 \right) \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} \left| a_k \right|^2 \left| a_{n-k} \right|^2=:\blacksquare[/mm]
Sei $v = [mm] (a_0 a_n, a_1 a_{n-1}, \dots, a_n a_0)$ [/mm] und $w = (1, [mm] \dots, [/mm] 1)$. Dann ist [mm] $|\langle [/mm] v, w [mm] \rangle|^2 [/mm] = [mm] |\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k}|^2$. [/mm] Nach Cauchy-Schwarz ist dies [mm] $\le \langle [/mm] v, v [mm] \rangle \langle [/mm] w, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n (a_k a_{n-k})^2 \cdot [/mm] (n + 1)$. Und schon bist du fertig.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 05.08.2012 | | Autor: | Reticella |
Vielen Dank!
Manchmal hat man nen Brett vorm Kopf ;). Hab da echt schon ne Weile dran gegrübelt...
Die Frage ist somit gelöst... bekomme das irgendwie nicht umgestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 05.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Vielen Dank!
> Manchmal hat man nen Brett vorm Kopf ;). Hab da echt schon
> ne Weile dran gegrübelt...
kommt vor :) Der Trick, bei Cauchy-Schwarz einen "trivialen" Vektor (mit nur Einsen) einzusetzen, kommt ab und an mal vor; damit kann man z.B. auch die [mm] $\ell^1$-Norm [/mm] durch die [mm] $\ell^2$-Norm [/mm] abschaetzen. Wenn man den Trick ein paar mal gesehen hat, erinnert man sich eher dran :)
> Die Frage ist somit gelöst... bekomme das irgendwie nicht
> umgestellt.
Ich hab's mal fuer dich umgestellt.
LG Felix
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