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| Aufgabe | [mm] \int_0^\infty \ln x \frac{x^2 e^x}{(e^x-1)^2} dx [/mm]
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Hallo!
Bin wirklich verzweifelt! Vielleicht hat jemand den genialen Einfall fuer die richtige Substitution um damit in eine Integraltabelle oder mit Mathematica eine Loesung zu finden.
Was das Integral so schwierig macht zu loesen, ist
1) quadrat im nenner
2) das minus-zeichen im nenner.
Das korrespondierende Integral mit PLUS im nenner konnte ich loesen:
[mm] \int_0^\infty \ln x \frac{x^2 e^x}{(e^x+1)^2} dx = \frac{\pi^2}{6} \left( \frac{3}{2} - \gamma + \ln 2 + \frac{\zeta ' (2)}{\zeta (2)} \right)[/mm]
mit [m] \gamma [/m] Euler Konst. und [m] \zeta [/m] der Riemannschen Zeta Funktion. Eine analytische Loesung existiert und ich weiss auch dass sie die gleiche Struktur wie die andere Loesung haben muss.
Entweder substituiert man geschickt oder man entwickelt irgendwie in Reihen, die man integriert und dann zu den konstanten aufsummiert... no idea...
Waere super, wenn mir da wer helfen koennte!
Danke,
Josef
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Do 10.08.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Josef,
mit welchen techniken hast du denn das integral mit 'plus' gelöst?
Gruß
Matthias
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Hallo Matthias,
also fuer die Loesung mit dem PLUS im Nenner kann man zunaechst den Bruch in zwei Teile zerlegen:
[m] \frac{x^2 e^x}{(e^x +1)^2} = \frac{x^2 }{e^x +1} - \frac{ x^2 }{(e^x +1)^2} [/m]
Das Integral mit dem ersten Term kann Mathematica loesen, fuer den zweiten Term hab' ich Gradshteyn, "Table of Integrals, Series and Products" benutzt (sicher einer der ausfuehrlichsten Integraltabellen, die's gibt).
Es gilt (4.354):
[m]
\int_0^\infty \frac{x^{\nu-1}\ln x}{(e^x+1)^2} = \Gamma (\nu) \sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k (k-1)}{k^\nu} [ \psi(\nu) - \ln k ]
[/m]
mit
[m]
\psi(\nu) = - \gamma + \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n+1}- \frac{1}{\nu+n} \right)
[/m]
d.h. fuer [m] \psi(3)= - \gamma + 3/2 [/m] lasst sich die loesung aufsummieren.
Der Factor
[m] 1/ \zeta(2) = 6/\pi^2 [/m]
in meiner Loesung (siehe erstes Posting) ist nur eingefuegt um den factor
[m] \pi^2 /6 [/m]
als overall-faktor herauszuziehen.
Zum Integral mit dem MINUS: ich denke, dass man sich geschickt mit Reihenentwicklungen spielen muss. Das Ergebnis sollte direkt proportinal zum Ergebnis mit dem PLUS integral sein.
Habe das Integral selbst loesen koennen!
Die Inspiration lieferte ein geniales paper:
"On the summation of infinite series in closed form", albert wheelon, 1954
Danke an alle fuer's mitdenken!
cheers,
josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 25.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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