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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 25.08.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Auf dem [mm] \IR [/mm] -VR H betrachte das Skalarprodukt, welches die Basis
[mm] E_0=\pmat{1&0\\0&1}, E_1=\pmat{i&0\\0&\red{-}i}, E_2=\pmat{0&1\\-1&0}, E_3=\pmat{0&i\\i&0} [/mm] von H als ONBasis hat. Für
[mm] A=\pmat{a&-\overline{b}\\b&\overline{a}} [/mm] ist dann
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ^2 = [mm] |a|^2+|b|^2=det(A) [/mm] |
Das ist ein Abschnitt in unserem Skript, den ich leider überhaupt nicht verstehe... kann mir jemand weiterhelfen? Ok, H ist ein 4dimensionaler VR, deswegen braucht man eine Basis der Länge 4. Wie ist aber das Skalarprodukt bei Matrizen definiert? Wieso ist H ein [mm] \IR [/mm] - VR, wenn doch die Elemente aus [mm] \IC [/mm] sind?
Weshalb ist [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ^2 = [mm] |a|^2+|b|^2=det(A)?
[/mm]
Über eine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar,
moerni
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> Auf dem [mm]\IR[/mm] -VR H betrachte das Skalarprodukt, welches die
> Basis
> [mm]E_0=\pmat{1&0\\0&1}, E_1=\pmat{i&0\\0&\red{-}i}, E_2=\pmat{0&1\\-1&0}, E_3=\pmat{0&i\\i&0}[/mm]
> von H als ONBasis hat. Für
> [mm]A=\pmat{a&-\overline{b}\\b&\overline{a}}[/mm] ist dann
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel[/mm] ^2 = [mm]|a|^2+|b|^2=det(A)[/mm]
> Das ist ein Abschnitt in unserem Skript, den ich leider
> überhaupt nicht verstehe... kann mir jemand weiterhelfen?
> Ok, H ist ein 4dimensionaler VR,
Hallo,
die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind also Matrizen, und zwar solche, die von [mm] E_1,..., E_4 [/mm] erzeugt werden.
> Wie ist aber das Skalarprodukt bei
> Matrizen definiert?
Ein Skalarprodukt s auf einem reellen VR ist ja eine Abbildung aus dem VxV in den [mm] \IR [/mm] mit bestimmten Eigenschaften.
Wie Dein spezielles Skalarprodukt s hier genau funktioniert, kannst Du herausfinden, denn es ist ja gesagt, daß [mm] (E_1, [/mm] ..., [mm] E_4) [/mm] eine ONB ist.
> Weshalb ist [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel[/mm] ^2 = [mm]|a|^2+|b|^2=det(A)?[/mm]
Das ergibt sich daraus, daß [mm] (E_1, [/mm] ..., [mm] E_4) [/mm] eine ONB bzgl. s ist.
Schreibe A also [mm] A=a_1E_1+ ...+a_4E_4, [/mm] und berechne dann [mm] s(a_1E_1+ ...+a_4E_4, a_1E_1+ ...+a_4E_4).
[/mm]
Achso, mit [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] ist hier die durchs Skalarprodukt induzierte Norm gemeint.
> Wieso ist H ein [mm]\IR[/mm] - VR, wenn doch die
> Elemente aus [mm]\IC[/mm] sind?
Weil die VR Axiome gelten mit [mm] K=\IR.
[/mm]
(Für [mm] K=\IC [/mm] wäre [mm] (E_1,.., E_4) [/mm] ja gar nicht linear unabhängig, die Dimension des VRes also kleiner.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 26.08.2009 | | Autor: | moerni |
erstmal danke für die rasche Antwort.
Leider haben mir deine Hinweise nicht viel weitergeholfen...
Ok, [mm] E_0, [/mm] ... , [mm] E_3 [/mm] ist eine ONBasis von H, dann muss ja die Norm von [mm] E_i [/mm] = 1 sein. Ich weiß aber einfach nicht, wie ich die Norm einer Matrix berechne. Wie geht denn das? Wo kann ich das nachlesen? Gut, in Analysis hatten wir Zeilensummennorm bzw. Spaltensummennorm, aber das wird hier ja wohl nicht zutreffen...
Alle Matrizen der Form
[mm] A=\pmat{a&-\overline{b}\\b&\overline{a}}, [/mm] a,b [mm] \in \IC
[/mm]
sind Elemente von H. Nun habe ich a und b geschrieben als
[mm] a=a_1+ia_2
[/mm]
[mm] b=b_1+ib_2
[/mm]
Dann ist [mm] A=a_1*E_0+a_2*E_1-b_1*E_2+b_2*E_3
[/mm]
Das hilft mir für die Berechnung des Skalarproduktes auch nix, weil ich auch nicht weiß, wie ich von zwei Matrizen ein Skalarprodukt bilden soll... Kannst du mir bitte eine Hilfestellung geben?
Grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mi 26.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Orthonormalbasis heisst doch einfach [mm] E_i*E_i=1 [/mm] *=skalarprod.
und [mm] E_i*Ek=0 [/mm] fuer [mm] i\ne [/mm] k.
Du hast angelas Hinweise nicht genau gelesen, oder nicht drueber nachgedacht.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 30.08.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo leduart,
es ist schade, dass ich in mathe-foren immer wieder "du hast den Hinweis nicht genau gelesen oder nicht darüber nachgedacht..." als Antwort erhalte. Natürlich muss man sich in der Mathematik selbstständig durch die Themen durch"kämpfen". Das ist mir klar und versuche ich. Wenn ich aber an einer Stellen nicht weiterkomme, weil ich auf dem Schlauch stehe oder von einer falschen Betrachtungsweise an die Sache rangehe oder einfach nicht weiter weiß, dann wende ich mich hoffnungsvoll an das Matheforum. Es ist aber traurig und demotivierend, wenn ich als Antwort höre, ich hätte mich nicht ausreichend mit den Antworten beschäftigt. Für jemanden, der den Sachverhalt verstanden hat, ist das alles wohl logisch. Aber man darf nicht vergessen, dass ich noch ganz am Anfang stehe und das alles erst lernen muss. Da ich aber Mathe studiere und die Frage ins Netz stelle, kann man erwarten, dass ich viel Interesse zeige und mich mit der Sache auseinandersetze und beschäftige.
Liebe Grüße,
moerni
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> Ok, [mm]E_0,[/mm] ... , [mm]E_3[/mm] ist eine ONBasis von H,
Hallo,
Mit diesem Hinweis kennt man die Skalarprodukte der Basisvektoren, nämlich???
Hierfür ist nichts zu rechnen und zu grübeln, man muß das einfach hinschreiben, denn die Orthonormalität ist ja vorausgesetzt.
Durch die Produkte der Basisvektoren ist das Skalarprodukt eindeutig bestimmt, und Du solltest wissen bzw. drüber nachdenken, warum das so ist.
> dann muss ja
> die Norm von [mm]E_i[/mm] = 1 sein. Ich weiß aber einfach nicht,
> wie ich die Norm einer Matrix berechne. Wie geht denn das?
> Wo kann ich das nachlesen?
Ich hatte bereits etwas über die Norm geschreiben: es ist die vom Skalarprodukt induzierte Norm.
> Alle Matrizen der Form
> [mm]A=\pmat{a&-\overline{b}\\b&\overline{a}},[/mm] a,b [mm]\in \IC[/mm]
>
> sind Elemente von H. Nun habe ich a und b geschrieben als
> [mm]a=a_1+ia_2[/mm]
> [mm]b=b_1+ib_2[/mm]
> Dann ist [mm]A=a_1*E_0+a_2*E_1-b_1*E_2+b_2*E_3[/mm]
Ja.
> Das hilft mir für die Berechnung des Skalarproduktes auch
> nix, weil ich auch nicht weiß, wie ich von zwei Matrizen
> ein Skalarprodukt bilden soll...
Ich hatte Dir doch schon gesagt, daß Du s(A,A) bzw. A*A berechnen sollst. Hast Du denn man losgerechnet?
Das Skalarprodukt ist bilinear.
Bedenke dann, daß Du die Skalarprodukte der Basisvektoren bereits kennst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 30.08.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo Angela,
ok, ich hab das mal ausgeschrieben und ausgerechnet und komme auf das richtige Ergebnis:
[mm] A=\pmat{a & b \\ -\overline{b} & \overline{a}}
[/mm]
schreibe [mm] a=a_1+ia_2
[/mm]
[mm] b=b_1+ib_2
[/mm]
dann ist [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] ^2 = <A,A> = [mm] =++ +=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2=a\overline{a}+b\overline{b}=detA
[/mm]
Dabei habe ich verwendet, dass das Skalarprodukt bilinear ist und [mm] =1, [/mm] falls i=j und [mm] =0, [/mm] falls [mm] i\not=j
[/mm]
Was ich mich immernoch frage: Wie kann ich sehen, dass [mm] =1, [/mm] falls i=j und [mm] =0, [/mm] falls [mm] i\not=j [/mm] gilt? oder wurde einfach definiert, dass zb. [mm] =1 [/mm] ist und [mm] =0 [/mm] (i=1,2,3)? Hast du das gemeint, dass das Skalarprodukt durch die Basisvektoren (matrizen) festgelegt wurde?
Liebe Grüße, moerni
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> ok, ich hab das mal ausgeschrieben und ausgerechnet und
> komme auf das richtige Ergebnis:
> Dabei habe ich verwendet, dass das Skalarprodukt bilinear
> ist und [mm]=1,[/mm] falls i=j und [mm]=0,[/mm] falls
> [mm]i\not=j[/mm]
Hallo,
genau.
> Was ich mich immernoch frage: Wie kann ich sehen, dass
> [mm]=1,[/mm] falls i=j und [mm]=0,[/mm] falls [mm]i\not=j[/mm] gilt?
Das ist vorausgesetzt in der Aufgabe.
Es wurde doch gesagt, die gegebene Basis eine ONB ist, und damit ist gemeint "eine ONB bzgl. des hier zu betrachtenden Skalarproduktes":
> oder wurde einfach definiert, dass zb. [mm]=1[/mm] ist und
> [mm]=0[/mm] (i=1,2,3)?
Wie gesagt, das ist im Aufgabentext vorausgesetzt.
> Hast du das gemeint, dass das
> Skalarprodukt durch die Basisvektoren (matrizen) festgelegt
> wurde?
Aufgrund der Eigenschaften von Skalarprodukten ist das so. Kennst Du das Ergebnis der Produkte der Basisvektoren, so kennst Du das Skalarprodukt, denn Du kannst jedes beliebige Produkt berechnen.
In dem Moment, wo die "Basisprodukte" festliegen, hast Du keine Wahl mehr, einen Eindruck davon hast Du ja beim Berechnen von A*A bekommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 So 30.08.2009 | | Autor: | moerni |
ok und vielen Dank,
moerni
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