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Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,
ich halte nächste Woche einen Vortrag über Hamiltonkreise und dachte ich habe soweit alles verstanden.. Leider sind mir doch noch ein paar Fragen gekommen.
1) Warum muss man fordern, dass es sich um einen vollständigen Graphen handelt, wenn dieser in kantendisjunkte Hamiltonpfade/Hamiltonkreise zerlegbar sein kann?
2) Wie beweise ich die Hinrichtung von "Ein vollständiger Graph mit n Knoten ist in kantendisjunkte Hamiltonpfade zerlegbar <-- --> n gerade ist.
Meine Ideen:
1) Bei einem vollständigen Graphen sind je zwei Knoten paarweise miteinander durch eine Kante verbunden. Das heißt, dass wir die Anzahl der Kanten in diesem Graphen kennen und dies ist eine notwendige Voraussetzung dafür, dass wir es zerlegen können, weil wir ja sonst dies nicht für beliebige Anzahl n von Knoten zeigen können, da wir nicht wissen, welcher Knoten mit welchem anderen Knoten verbunden ist?
2) Wir wissen, dass ein vollständiger Graph genau [mm] 1/2 n (n-1) [/mm] Kanten besitzt. Grund: der Graph besteht aus n Knoten, die jeweils n-1 angrenzende Kanten besitzen. Das bedeutet aber, dass wir jede Kante sowohl am "Anfangsknoten" der Kante und am "Endknoten" der Kante mitzählen, d.h. jede Kante wird doppelt gezählt --> halbieren. Wir wissen zudem, dass jeder Hamiltonpfad aus genau n-1 Kanten besteht, da wir per Definition fordern, dass er jeden Knoten des Graphen genau einmal durchlaufen muss, aber nicht geschlossen sein muss. Können wir daraus direkt folgern, dass es genau [mm] 1/2 n [/mm]kantendisjunkte Hamiltonpfade in einem vollständigen Graphen gibt, weil wir ja wissen dass es genau [mm] 1/2 n [/mm] mal (n-1) Kanten gibt? Daraus könnten wir folgern, dass n damit ein Teiler der zwei ist und damit gerade sein muss. Stimmt das so?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=561202
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 24.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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