Halbkugel- u. Zylindervolumen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei H die abgeschlossene obere Halbkugel mit Radius 4 um den Ursprung im [mm] \IR [/mm] ^3 und Z der senkrechte Zylinder über der waagrechten Kreisfläche mit Radius 2 um den Mittelpunkt (2,0,0).
(a) Berechne das volumen von K:= H [mm] \cap [/mm] Z
(b) Berechne den Flächeninhalt jenes kompakten Flächenstücks, das als Deckfläche des in Punkt (a) erhaltenen Volumens auftritt |
Bei Aufgabe (a) habe ich zunächst einmal die Kugeloberfläche als ebene mit einer Ebenengleichung beschrieben: O = { (x,y,z) aus [mm] \IR [/mm] ^3 : [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] =16} Dann wollte ich das volumen zwischen dieser Fläche und dem Basiskreis des Zylinders ausrechnen, und zwar folgendermassen:
[mm] \integral_{B}{\integral_{0}^{4}{x^2+y^2+z^2 dz} d(x,y)} [/mm] ich habe dann auf polarkoordinaten transformiert und auch ein schönes ergebnis erhalten, es ist aber leider falsch, denn herauskommen soll [mm] (\pi [/mm] - 4/3) 64/3)
kann mir jemand erklären, warum mein lösungsansatz nicht stimmt? ich habe dann versucht, eine formel für die "stauchung" des basiskreises mit wachsender höhe zu finden, der basiskreis verformt sich dann in etwas, das halb kreis und halb ellipse ist und ich habe keine formel gefunden, um das zu beschreiben..
ad (b) ich möchte einen diffeomorphismus finden, der mir die fläche über meinem basiskreis in kartesischen koordinaten beschreibt, aber ich habe absolut keine idee, wie ich ansetzen soll. ich wäre für anregungen sehr dankbar!!
lg,
Natalie
PS: ich habe diese frage noch in keinem anderen forum gepostet
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Mit "B" ist mein Basiskreis, die Grundfläche des Zylinders gemeint.
Mfg,
Natalie
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Hallo Natalie.
Zu Teil 1 der Frage:
Zunächst mal mußt Du über die Funktion konstant 1 integrieren, da ja ein Volumen berechnet werden soll. Die Darstellung der Kugeloberfläche, die Du angegeben hast, ist o.k., sie geht ein in der Konstruktion des Integrationsgebietes.
Ist (x,y) ein Punkt in B, so mußt Du die "Säule" über diesem Punkt bis zur Kugeloberfläche nehmen; sie hat laut Deiner Parameterdarstellung die Höhe h(x,y) = [mm] \wurzel{16-x^{2}-y^{2}} [/mm] (einfach nach z auflösen!). Das innere Integral hat somit bei festem (x,y) in B die Grenzen 0 und h(x,y). Wenn Du das Integral über die Funktion konstant 1 in diesen Grenzen berechnet hast, kommt ein von (x,y) abhängiger Wert raus, also eine neue Funktion g(x,y). Die muß nun über B integriert werden, z.B. mit Hilfe von Polarkoordinaten.
Nachgerechnet hab ich das jetzt nicht, aber so sollte der richtige Wert rauskommen.
Du wolltest es in umgekehrter Reihenfolge machen, bei fester Höhe z den Inhalt der Schnittfläche in Höhe z mit der Menge berechnen und dann diese Inhalte über die Höhe aufsummieren. Ich glaube, das ist technisch schwieriger, weil diese Flächen, wie Du ja selbst sagst, ewtas unförmig sind.
Teil 2:
Die Fläche ist doch in kartesischen Koordinaten dargestellt, hast Du ja selbst hingeschrieben! Etwas umschreiben, dann sieht's so aus:
Fläche = [mm] \{(x,y,h(x,y)); (x,y) \in B\} [/mm] mit h wie in Teil 1.
Jetzt mußt Du halt die Formel für die Berechnung von Oberflächenintegralen suche,... Hast Du die?
Gruß von Torsten
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hallo thorsten!
meine formel für das oberflächenintegral lautet wie folgt:
[mm] \integral_{phi (K)}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{K}{f(phi (t)) *\parallel N phi(t) \parallel dt} [/mm] ,
wobei phi : K -> [mm] \IR [/mm] ^3 (hierbei bezeichnet K die Menge der Punkte in jenem Kugeloberflächenstück, das meinen Zylinder oben begrenzt) eine immersion ist und N phi (t) = Dx(phi) [mm] \times [/mm] Dy(phi), also der Flächennormalvektor an der Stelle t aus K ist.
f ist eine stetige Funktion , f: phi(K) -> [mm] \IR
[/mm]
Ich habe jetzt die Immersion phi = (x,y,h(x,y) genommen, den Flächennormalvektor berechnet und als meine stetige Funktion f die einsfunktion genommen f(x,y,h(x,y)) = 1 und nach d (x,y) integriert. dabei kommt mir ein Wert von 2,3413 für das Stück der Kugeloberfläche heraus.
Ist der rechengang soweit richtig, oder hast du eine andere Formel für das Oberflächenintegral gemeint? (Wir haben in der Vo diese Formel zwar auf n-dimensionen verallgemeinert, indem wir den Metriktensor eingeführt haben, aber eine andere formel habe ich nicht gefunden.. )
lg,
Natalie
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Morgen Natalie.
Das ist schon die Formel, die ich meine. Dieses [mm] \parallel N_{\phi} \parallel [/mm] ist ja gerade der metrische Tensor bzw. dessen Norm. Das K ist aber nicht das Flächenstück, wie Du geschrieben hast, sondern das, was Du B genannt hast, der Kreis "unten am Boden"; das Flächenstück ist dann [mm] \phi(K), [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] die Immersion ist, also diese Parameterdarstellung (x,y) ->(x,y,h(x,y)). Aber da hast Du Dich wohl nur vertippt, die Rechnung, die Du da grob geschildert hast, ist eigentlich ok.
Ich hab die Aufgabe vor Jahren selbst mal gerechnet und die Lösung ausgekramt. Wenn ich dieses Integral mit dem metrischen Tensor genau hinschreibe, kommt raus
[mm] \integral_{B}^{}{\bruch{4}{\wurzel{16-x^{2}-y^{2}}}d(x,y)}.
[/mm]
Das kann man mit Polarkoordinaten lösen, ist nicht so ganz trivial. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt 18,27 raus. 2,34 kann eigentlich nicht sein, denn B selbst hat ja schon eine Fläche von etwa 12,6, und das Flächenstück über B ist mit Sicherheit größer...!?
Probier's mal und sag mir, ob Du weitergekommen bust.
LG Torsten
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naja, prinzipiell hab ich das schon so gerechnet, wie du es vorgeschlagen hast, das problem ist nur, dass ich auf ein anderes integral komme, als du in deiner letzten antwort angegeben hast..
ich habe jetzt meine parametrisierung phi des flächenstückes K, und zwar mit (x,y) -> [mm] (x,y,\wurzel{16-x^2-y^2}
[/mm]
wenn ich phi jetzt aber nach x und nach y ableite, komme ich auf
Dx(phi) = (1, 0, [mm] -2x(16-x^2-y^2)^{-1/2}) [/mm] und
Dy(phi) = (0, 1, [mm] -2y(16-x^2-y^2)^{-1/2})
[/mm]
=> N(phi) = [mm] (-2x(16-x^2-y^2)^{-1/2}, 2y(16-x^2-y^2)^{-1/2}, [/mm] 1)
und [mm] \parallel [/mm] N(phi) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{4x^2*(16-x^2-y^2) + 4y^2*(16-x^2-y^2 ) + 1}
[/mm]
und das Integral [mm] \integral_{B}{\parallel N(phi) \parallel dx} [/mm] ergibt sich dann laut taschenrechner zu 2,341.. was wirklich nicht stimmen kann nachdem der flächeninhalt des basiskreises schon grösser ist..
auf jeden fall vielen dank, dass du dir solche mühe gibst!!
glg,
Natalie
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Du hast Dich zweimal verrechnet: Bei der Ableitung ist der Faktor 2 zuviel, der kürzt sich mit der 2 im Nenner weg, die beim ableiten der Wurzelfunktion entsteht. Also:
[mm] D_{x}(\phi) [/mm] = (1, 0, [mm] x(16-x^{2}-y^{2})^{-1/2})
[/mm]
Und bei der Berechnung von [mm] \parallel [/mm] N [mm] \parallel [/mm] ist Dir ein Schreibfehler passiert, die [mm] (16-x^{2}-y^{2}) [/mm] stehen im Nenner! Also
[mm] \parallel [/mm] N [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x^{2}}{16-x^{2}-y^{2}} + \bruch{y^{2}}{16-x^{2}-y^{2}} + 1}
[/mm]
und das ergibt den Ausdruck, den ich heut morgen aufgeschrieben habe. Ok?
Mußt Du das Integral jetzt selbst berechnen oder macht das Dein Taschenrechner? (Was es heute alles gibt, Taschenrechner, die solche Integrale lösen...  )
Wenn Du's selbst machen mußt, dann verwende z.B. verschobene Polarkoordinaten, deren Mittelpunkt in (0,2) liegen, dem Zentrum von B. Viel Spaß noch!
LG zurück. Torsten
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vielen herzlichen dank!!
das integral muss ich zumindest so aufspalten, dass ich ein doppelintegral da stehen habe, da mein taschenrechner, ein ti voyage nur einfache integrale lösen kann.. leider  und daran, dass der kreis ja nicht in der mitte liegt, hab ich natürlich auch nicht gedacht.
lg,
Natalie
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