Häufungspunkte zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch:
[mm]a_{n} := (-1)^n + \bruch{1}{n}[/mm] wobei [mm]n \geq 1[/mm]
Zeigen Sie: Die Zahlen 1 und -1 sind Häufungspunkte der Folge [mm](a_{n})[/mm] . |
Das Thema Häufungspunkte habe ich leider bisher kaum verstanden.
Wir haben definiert, dass wenn wir ein [mm]b\in\IR[/mm] betrachten und es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] unendlich viele [mm]a_{n}[/mm] gibt, die [mm]\varepsilon[/mm]-nahe bei [mm]b[/mm] liegen, b dann ein Häufungspunkt ist.
Außerdem haben wir festgehalten, dass eine konvergente Folge genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert hat.
Und das ist die erste Sache, die mich stutzig macht: [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als Bestandteil der Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert ja mit den Grenzwert 0. 0 ist aber kein Häufungspunkt von [mm]a_{n}[/mm]. Warum nicht?
Im Gegensatz dazu konvergiert [mm](-1)^n[/mm] nicht, aber die angegebenen Häufungspunkte scheinen genau von [mm](-1)^n[/mm] herzukommen.
Ich verstehe leider nicht, warum das so ist.
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir hier beim Verstehen helfen könntet (und würdet).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch:
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> [mm]a_{n} := (-1)^n + \bruch{1}{n}[/mm] wobei [mm]n \geq 1[/mm]
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> Zeigen Sie: Die Zahlen 1 und -1 sind Häufungspunkte der
> Folge [mm](a_{n})[/mm] .
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> Das Thema Häufungspunkte habe ich leider bisher kaum
> verstanden.
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> Wir haben definiert, dass wenn wir ein [mm]b\in\IR[/mm] betrachten
> und es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] unendlich viele [mm]a_{n}[/mm] gibt,
> die [mm]\varepsilon[/mm]-nahe bei [mm]b[/mm] liegen, b dann ein
> Häufungspunkt ist.
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> Außerdem haben wir festgehalten, dass eine konvergente
> Folge genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert
> hat.
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> Und das ist die erste Sache, die mich stutzig macht:
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als Bestandteil der Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert ja
> mit den Grenzwert 0. 0 ist aber kein Häufungspunkt von
> [mm]a_{n}[/mm]. Warum nicht?
>
> Im Gegensatz dazu konvergiert [mm](-1)^n[/mm] nicht, aber die
> angegebenen Häufungspunkte scheinen genau von [mm](-1)^n[/mm]
> herzukommen.
> Ich verstehe leider nicht, warum das so ist.
>
> Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir hier beim Verstehen
> helfen könntet (und würdet).
In jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von 1 liegen unendlich viele [mm] a_n, [/mm] nämlich fast alle [mm] a_{2n}
[/mm]
In jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von -1 liegen unendlich viele [mm] a_n, [/mm] nämlich fast alle [mm] a_{2n-1}
[/mm]
FREDE
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch:
>
> [mm]a_{n} := (-1)^n + \bruch{1}{n}[/mm] wobei [mm]n \geq 1[/mm]
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> Zeigen Sie: Die Zahlen 1 und -1 sind Häufungspunkte der
> Folge [mm](a_{n})[/mm] .
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> Das Thema Häufungspunkte habe ich leider bisher kaum
> verstanden.
>
> Wir haben definiert, dass wenn wir ein [mm]b\in\IR[/mm] betrachten
> und es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] unendlich viele [mm]a_{n}[/mm] gibt,
> die [mm]\varepsilon[/mm]-nahe bei [mm]b[/mm] liegen, b dann ein
> Häufungspunkt ist.
>
> Außerdem haben wir festgehalten, dass eine konvergente
> Folge genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert
> hat.
>
> Und das ist die erste Sache, die mich stutzig macht:
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als Bestandteil der Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert ja
> mit den Grenzwert 0. 0 ist aber kein Häufungspunkt von
> [mm]a_{n}[/mm]. Warum nicht?
Weil es mit Ausnahme von [mm] $a_1$ [/mm] in der unmittelbaren Umgebung von 0 kein weiteres Folgenglied gibt.
Hast die dir die ersten Glieder mal aufgeschrieben?
-1+(1/1)=0
1+(1/2)=1,5
-1+1/3= -0,666...
1+1/4= 1,25
-1+1/5= -0,8
1+1/6= 1,1666...
-1+1/7= -0,857...
Die positiven Zahlen nähern sich immer mehr der 1 und die negativen immer mehr der -1. Der (immer kleiner werdende) Summand 1/n drücht ja gerade den Abstand des jeweiligen Folgengliedes zu 1 bzw zu -1 aus.
Gruß Abakus
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> Im Gegensatz dazu konvergiert [mm](-1)^n[/mm] nicht, aber die
> angegebenen Häufungspunkte scheinen genau von [mm](-1)^n[/mm]
> herzukommen.
> Ich verstehe leider nicht, warum das so ist.
>
> Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir hier beim Verstehen
> helfen könntet (und würdet).
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Danke fürs Helfen!
Das heißt, dass ich, um den Beweis zu erbringen, die Folge [mm](a_{n})[/mm] in zwei Teilfolgen zerlegen und dann diese getrennt betrachten kann, richtig?
Seien [mm](a_{2k})[/mm] und [mm](a_{2k-1})[/mm] Teilfolgen von [mm](a_{n})[/mm]. Beide Teilfolgen sind dann konvergent:
[mm](a_{2k})[/mm] konvergiert gegen 1 und [mm](a_{2k-1})[/mm] konvergiert gegen -1.
Diese Grenzwerte sind per Definition zugleich die Häufungspunkte der aus [mm](a_{2k})[/mm] und [mm](a_{2k-1})[/mm] zusammengesetzten Folge [mm](a_{n})[/mm].
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke fürs Helfen!
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> Das heißt, dass ich, um den Beweis zu erbringen, die Folge
> [mm](a_{n})[/mm] in zwei Teilfolgen zerlegen und dann diese getrennt
> betrachten kann, richtig?
>
> Seien [mm](a_{2k})[/mm] und [mm](a_{2k-1})[/mm] Teilfolgen von [mm](a_{n})[/mm]. Beide
> Teilfolgen sind dann konvergent:
>
> [mm](a_{2k})[/mm] konvergiert gegen 1 und [mm](a_{2k-1})[/mm] konvergiert
> gegen -1.
>
> Diese Grenzwerte sind per Definition zugleich die
> Häufungspunkte der aus [mm](a_{2k})[/mm] und [mm](a_{2k-1})[/mm]
> zusammengesetzten Folge [mm](a_{2n})[/mm].
Ja. In der Umgebung von 1 tummeln sicht zwar unendlich viele Folgenglieder (deswegen Häufungspunkt), aber unendlich viele andere Glieder tummeln sich woanders (deswegen kein Grenzwert). Gleiches gilt für -1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 So 04.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
> Ja. In der Umgebung von 1 tummeln sicht zwar unendlich
> viele Folgenglieder (deswegen Häufungspunkt), aber
> unendlich viele andere Glieder tummeln sich woanders
> (deswegen kein Grenzwert). Gleiches gilt für -1.
Danke!
Dann war die Aufgabe ja doch einfacher zu lösen als ich anfänglich gedacht hatte …
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