Häufungspunkt beschr. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass jede beschränkte Folge f aus [mm] \IR^m [/mm] einen Häufungspunkt in [mm] \IR^m [/mm] besitzt. |
Das ist eigentlich nur ein Teil eines Beweises, den ich lösen soll, allerdings der einzige, bei dem es mir schwer fällt, das Ganze formal korrekt zu lösen (bzw. der Rest des Beweises ist bereits gelöst, d.h. auch nicht erwähnenswert).
Genauer geht es mir darum, zu zeigen, dass jede Folge einer beschränkten Menge A [mm] \subseteq \IR^m [/mm] einen Häufungspunkt hat.
Mein ursprünglicher Ansatz war wie folgt:
Sei [mm] {a_n} [/mm] eine Folge in der beschränkten Menge A, d.h. sei [mm] {a_n} [/mm] beschränkt.
=>Jede Komponentenfolge [mm] {a_n_i} [/mm] (<- i-te Komponentenfolge) besitzt nach Bolzano-Weierstraß einen Häufungspunkt bzw. eine konvergente Teilfolge.
Mein Problem fing eigentlich ab hier an, da es mir (1. Semester) noch schwer fällt, hier halbwegs korrekt zu argumentieren. Der Gedanke war, dass ich zuerst eine "Indexmenge" [mm] I_1 [/mm] für die erste Komponentenfolge finde, die unendlich ist - und das Ganze dann fortsetze, d.h. ich finde eine "Indexmenge" I_12 [mm] \subset I_1 [/mm] , so dass die ersten beiden Komponentenfolgen usw. konvergieren (notfalls kann ich das Ganze natürlich mittels vollständiger Induktion machen, d.h. dass ich dann bereits auf die ersten n-1 Komponentenfolgen zurückgreifen kann und nur noch argumentieren muss, dass ich eine Indexmenge für die gesamte Folge finde).
Der andere Gedanke war absolut analog, dass ich nach Bolzano-Weierstraß für jede Komponentenfolge einen Häufungspunkt finde - nur müsste ich jetzt halt noch begründen, warum es dann auch einen Häufungspunkt für die "Gesamtfolge" gibt (vllt. weil sonst - unter der Annahme die Folge habe keinen Häufungspunkt - gälte, dass daraus wiederum folgt, dass mindestens eine Folge keinen Häufungspunkt hätte, was ein Widerspruch wäre ?) .
Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte, das hier einigermaßen gut zu erläutern bzw. zu argumentieren. Auf jeden Fall vielen Dank im Voraus.
(Ach ja - sorry falls das im falschen Unterforum gelandet ist.)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf einer anderen Internetseite gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 22.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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