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| Aufgabe | Seien [mm] $\pi [/mm] : [mm] \tilde [/mm] B [mm] \to [/mm] B$ ein lokaler Homöomorphismus, [mm] $\tilde [/mm] B$ kompakt und $B$ zusammenhängend.
[...] Sei [mm] $b\in [/mm] B. [mm] \Rightarrow \pi^{-1}(b) \subset \tilde [/mm] B$ ist endlich. Wäre [mm] $\pi^{-1}(b)$ [/mm] unendlich, gäbe es einen Häufungspunkt [mm] $\tilde [/mm] q [mm] \in \tilde [/mm] B$, was ein Widerspruch dazu wäre, dass [mm] $\pi$ [/mm] ein lokaler Homöomorphismus ist. [...] |
Hallo zusammen,
oben habe ich einen Teil aus einem Beweis rausgeschrieben, den ich nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht kann mir ja jemand dabei helfen...
Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
Wenn [mm] $\tilde [/mm] B$ kompakt ist, dann besitzt (nach Definition) jede Folge [mm] $(\tilde q_n) \subset \tilde [/mm] B$ eine konvergente Teilfolge [mm] $(\tilde q_{n_k})$. [/mm] Sei [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} (\tilde q_{n_k}) [/mm] = [mm] \tilde [/mm] q$ nun der Grenzwert, dieser Teilfolge. Dann ist dies (nach Definition) ein Häufungspunkt der Folge [mm] $(\tilde q_n)$. [/mm] Allerdings fehlt ja bisher noch die Tatsache, dass wir annehmen, dass [mm] \pi^{-1}(b) [/mm] unendlich sei. Überhaupt habe ich diese Menge bisher ja gar nicht speziell betrachtet.
Kann mir jemand helfen? Das wär echt super!
LG
fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 So 12.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Da [mm] \pi [/mm] ein lokaler Homöomorphismus ist ex. eine offene Umgebung U von [mm] $\tilde [/mm] q$ auf der [mm] \pi [/mm] injektiv ist.
Weiter gibt es eine unendliche Teilmenge A von $ [mm] \pi^{-1}(b) [/mm] $ , die in Uenthalten ist. Somit:
[mm] \pi(a)=b [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] A.
Widerspruch zu Injektivität von [mm] \pi [/mm] auf U.
FRED
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