Häufungspunkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
in meinem Script steht bei der Definition eines Häufungspunktes:
Sei M eine Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Ein Element a aus [mm] \IR [/mm] heißt Häufungspunkt von M, wenn es in jeder Umgebung von a
mindestens ein von a verschiedenes Element aus M besitzt.
Wie passt das mit:
Häufungspunkt ist ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat
zusammen?
Danke,
Anna
|
|
| |
|
Hallo Anna,
> Hallo,
>
> in meinem Script steht bei der Definition eines
> Häufungspunktes:
> Sei M eine Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
> Ein Element a aus [mm]\IR[/mm] heißt Häufungspunkt von M, wenn es
> in jeder Umgebung von a
> mindestens ein von a verschiedenes Element aus M besitzt.
>
> Wie passt das mit:
> Häufungspunkt ist ein Punkt, der unendlich viele Punkte
> der Menge in seiner Nähe hat
> zusammen?
Das passt wunderbar zusammen. Was stört dich konkret?
Nimm dir aus der 1. Def. eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um a, dann liegt da (mind.) ein von a verschiedenes Element drin.
Dann gilt doch dasselbe für alle [mm] $\frac{\varepsilon}{n}$-Umgebungen [/mm] um a [mm] ($n\in\IN$) [/mm] und für größer Umgebungen erst recht.
Damit liegen "in der Nähe von a" doch unendlich viele Elemente
Wie sieht's umgekehrt aus?
>
> Danke,
> Anna
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus,
> > in meinem Script steht bei der Definition eines
> > Häufungspunktes:
> > Sei M eine Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
> > Ein Element a aus [mm]\IR[/mm] heißt Häufungspunkt von M, wenn
> es
> > in jeder Umgebung von a
> > mindestens ein von a verschiedenes Element aus M
> besitzt.
> >
> > Wie passt das mit:
> > Häufungspunkt ist ein Punkt, der unendlich viele
> Punkte
> > der Menge in seiner Nähe hat
> > zusammen?
>
> Das passt wunderbar zusammen. Was stört dich konkret?
Ich glaube jetzt nach Deiner Erklärung stört mich daran doch nichts mehr. Hm, oder vielleicht doch - siehe unten.
> Nimm dir aus der 1. Def. eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung um a,
> dann liegt da (mind.) ein von a verschiedenes Element
> drin.
>
> Dann gilt doch dasselbe für alle
> [mm]\frac{\varepsilon}{n}[/mm]-Umgebungen um a ([mm]n\in\IN[/mm]) und für
> größer Umgebungen erst recht.
> Damit liegen "in der Nähe von a" doch unendlich viele
> Elemente
>
Stimmt, klar. Logisch. Und da n [mm] \in \IN [/mm] unendlich sind gibt es sozusagen unendlich viele kleinere [mm] \epsilon [/mm] - Umgebungen und somit unendlich viele verschiedene Punkte. Wobei, wenn ich noch mal weiter überlege, könnte es sich dabei nicht immer um den selben von a verschiedenen Punkt handeln - also wenn dieser von a verschiedene Punkt sozusagen in der "unendlichst"-kleinsten [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung von a liegt, dann wäre dieser eine Punkt ja auch automatisch in jeder größeren dabei und somit wären es nicht unendlich verschiedene Punkte sondern nur einer. Das ist jetzt sehr unmathematisch ausgedrückt (sorry).
> Wie sieht's umgekehrt aus?
Naja, unendlich viele geht ja konform mit MINDESTENS einen von a verschiedenen Punkt. Oder kann man das noch anders sagen?
Danke für Deine Hilfe!
Gruß
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 15.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo schachuzipus,
>
> > > in meinem Script steht bei der Definition eines
> > > Häufungspunktes:
> > > Sei M eine Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]
> > > Ein Element a aus [mm]\IR[/mm] heißt Häufungspunkt von M,
> wenn
> > es
> > > in jeder Umgebung von a
> > > mindestens ein von a verschiedenes Element aus M
> > besitzt.
> > >
> > > Wie passt das mit:
> > > Häufungspunkt ist ein Punkt, der unendlich viele
> > Punkte
> > > der Menge in seiner Nähe hat
> > > zusammen?
> >
> > Das passt wunderbar zusammen. Was stört dich konkret?
>
> Ich glaube jetzt nach Deiner Erklärung stört mich daran
> doch nichts mehr. Hm, oder vielleicht doch - siehe unten.
>
> > Nimm dir aus der 1. Def. eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung um a,
> > dann liegt da (mind.) ein von a verschiedenes Element
> > drin.
> >
> > Dann gilt doch dasselbe für alle
> > [mm]\frac{\varepsilon}{n}[/mm]-Umgebungen um a ([mm]n\in\IN[/mm]) und für
> > größer Umgebungen erst recht.
> > Damit liegen "in der Nähe von a" doch unendlich viele
> > Elemente
> >
>
> Stimmt, klar. Logisch. Und da n [mm]\in \IN[/mm] unendlich sind gibt
> es sozusagen unendlich viele kleinere [mm]\epsilon[/mm] - Umgebungen
> und somit unendlich viele verschiedene Punkte. Wobei, wenn
> ich noch mal weiter überlege, könnte es sich dabei nicht
> immer um den selben von a verschiedenen Punkt handeln -
> also wenn dieser von a verschiedene Punkt sozusagen in der
> "unendlichst"-kleinsten [mm]\epsilon[/mm] - Umgebung von a liegt,
> dann wäre dieser eine Punkt ja auch automatisch in jeder
> größeren dabei und somit wären es nicht unendlich
> verschiedene Punkte sondern nur einer. Das ist jetzt sehr
> unmathematisch ausgedrückt (sorry).
Hallo,
wie soll denn eine "unendlich kleinste" Umgebung aussehen?
Du sprichst von einem "von a verschiedenen" Punkt (und meinst sicher eine von a verschiedene Zahl).
Geben wir ihr einen Namen; nennen wir sie b.
Wenn [mm] b\ne [/mm] a gilt, so ist [mm] b-a\ne [/mm] 0.
Dann gibt es auch eine Zahl [mm] \bruch{a+b}{2}, [/mm] die zwischen a und b liegt und von a und b jeweils den Abstand [mm] \bruch{|b-a|}{2} [/mm] hal (und weil [mm] b-a\ne [/mm] 0, gilt auch [mm] \bruch{|b-a|}{2}\ne [/mm] 0.)
Du kannst b so nahe an a ransetzen wie du willst - trotzdem passt da eine Zahl in die Mitte (und damit passen sogar unendlich viele reelle Zahlen zwischen a und b.
Gruß Abakus
>
> > Wie sieht's umgekehrt aus?
>
> Naja, unendlich viele geht ja konform mit MINDESTENS einen
> von a verschiedenen Punkt. Oder kann man das noch anders
> sagen?
>
> Danke für Deine Hilfe!
> Gruß
> Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mo 15.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo fred und abakus,
vielen DANK für Eure Antworten.
Gruß
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 15.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist a ein HP vom M, so liegt in der $ [mm] \varepsilon [/mm] $-Umgebung um a ein von a verschiedener Punkt [mm] a_1 \in [/mm] M.
Jetzt wähle [mm] \varepsilon_1 [/mm] > 0 so, dass [mm] \varepsilon_1 [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und dass [mm] a_1 [/mm] nicht in der $ [mm] \varepsilon_1 [/mm] $-Umgebung um a liegt.
In der $ [mm] \varepsilon_1 [/mm] $-Umgebung um a liegt ein von a verschiedener Punkt [mm] a_2 \in [/mm] M.
Dann ist [mm] a_1 \ne a_2 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] liegt in der $ [mm] \varepsilon [/mm] $-Umgebung um a
Etc ....
FRED
|
|
|
|
