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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 05.01.2009 | | Autor: | xaidoos |
| Aufgabe | Steigung der Parabel mit der Gleichung f(x) = 2x² im Punkt (1.2|3.466).
Formuliere eine Allgemeine Aussage. |
m= [mm] \bruch{f(xp+h)-(xp)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2(xp+h)²-2(xp)²}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2xp²+2*2xph+2h²-2xp²}{h}=\bruch{ 2*2xph+2h²}{h}=\bruch{h(2*2xp+2h}{h} [/mm] = 4xp+2h
ist das Richtig ?
und wenn ja muss ich doch nur noch 1.2 einsetzen damit ich die steigung im Punkt habe odeR ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 05.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Beachte, dass du die Steigung erst dann hast, wenn du [mm] h\to0 [/mm] laufen lässt.
Also:
[mm] m=\red{\limes_{h\rightarrow0}}\bruch{f(xp+h)-(xp)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{2(x_{p}+h)²-2x_{p}^{2}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{2(x_{p}^{2}+2x_{p}h+h²)-2x_{p}^{2}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{2x_{p}^{2}+4x_{p}h+2h²-2x_{p}^{2}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{4x_{p}h+2h²}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h(4x_{p}+2h)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}(4x_{p}+2h)
[/mm]
Jetzt kannst du auch ohne Probleme h=0 setzen, da das h im nenner herauskürzbar geworden ist.
Also:
[mm] m=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{2(x_{p}+h)²-2x_{p}^{2}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}(4x_{p}+2h)
[/mm]
[mm] =4x_{p}
[/mm]
Wenn du jetzt einen Punkt gegeben hast, kannst du dann natürlich die Steigung bestimmen, indem du die x-Koordinate in die zu f(x)=2x² gehörende "Steigungsfunktion" m(x)=4x einsetzt
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 06.01.2009 | | Autor: | xaidoos |
Könnte mir jemand noch eine Aufgabe geben zum lernen ?
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Hallo xaidoos!
| Aufgabe | | Bestimme die Steigung der Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^3-1$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ . |
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 06.01.2009 | | Autor: | xaidoos |
f(x) = [mm] \bruch{(2+h)³-1-(2)³-1}{h} [/mm] = [mm] \bruch{8+4h+2h²+4h+2h²+h³-1-8-1}{h}= \bruch{8h+4h²+h³-2}{h}= \bruch{h(8+4h+h²)-2}{h} [/mm] = 8+4h+h²-2 = 6+4h+h² [mm] \limes_{0\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 6
richtig ?
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Hallo xaidoos,
> f(x) = [mm]\bruch{(2+h)³-1-(2)³-1}{h}[/mm] =
Das muß doch so lauten:
[mm]f(x) = \bruch{(2+h)³-1-\left\red{(} \ (2)³-1 \right\red{)}}{h}[/mm]
> [mm]\bruch{8+4h+2h²+4h+2h²+h³-1-8-1}{h}= \bruch{8h+4h²+h³-2}{h}= \bruch{h(8+4h+h²)-2}{h}[/mm]
Den Ausdruck [mm]\left(2+h\right)^{3}[/mm] kann man mit dem binomischen Lehrsatz berechnen.
> = 8+4h+h²-2 = 6+4h+h² [mm]\limes_{0\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 6
> richtig ?
Das mußt Du nochmal nachrechnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 06.01.2009 | | Autor: | xaidoos |
f(x)= [mm] \bruch{(2+h)³-1-((2)³-1)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2³+3*2h+h³-1-(8-1)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{8+6h+h³-8}{h} [/mm] = [mm] \bruch{6h+h³}{h} [/mm] = [mm] \bruch{h(6+h²)}{h} [/mm] = 6+h²
[mm] \limes_{0\rightarrow\infty} [/mm] 6 nun =?
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Hallo xaidoos,
> f(x)= [mm]\bruch{(2+h)³-1-((2)³-1)}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{2³+3*2h+h³-1-(8-1)}{h}[/mm] = [mm]\bruch{8+6h+h³-8}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{6h+h³}{h}[/mm] = [mm]\bruch{h(6+h²)}{h}[/mm] = 6+h²
>
> [mm]\limes_{0\rightarrow\infty}[/mm] 6 nun =?
Stimmt immer noch nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das scheitert daran, daß [mm]\left(2+h\right)^{3}[/mm] nicht richtig ausmultipliziert wurde.
Wenn Du das nach dem binomischen Lehrsatz nicht machen kannst,
dann multipliziere doch einfach [mm]\left(2+h\right)*\left(2+h\right)*\left(2+h\right)[/mm] aus.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 06.01.2009 | | Autor: | xaidoos |
f(x) = [mm] \bruch{8+12h+6h²+h³-8}{h}= \bruch{h(12+6h²)}{h}= [/mm] 12+6h²
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] (12+6h²) = 12+0
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Hallo xaidoos,
> f(x) = [mm]\bruch{8+12h+6h²+h³-8}{h}= \bruch{h(12+6h²)}{h}=[/mm]
Hier ist etwas verlorengegangen:
[mm]\bruch{8+12h+6h²+h³-8}{h}= \bruch{h(12+6h^{\red{1}}\red{+h^{2}})}{h}=12+6h+h^{2}[/mm]
> 12+6h²
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] (12+6h²) = 12+0
Das Ergebnis stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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