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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - GxH = GxH' => H=H'?
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GxH = GxH' => H=H'?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Do 11.12.2014
Autor: Teufel

Hallo!

Ich habe mich gefragt, ob es vielleicht solch einen Satz gibt:

Vermutung 1: Sei [mm] $G\times H\cong [/mm] G [mm] \times [/mm] H'$. Dann gilt [mm] $H\cong [/mm] H'$. Oder vielleicht sogar etwas allgemeiner:

Vermutung 2: Sei [mm] $G\times H\cong [/mm] G' [mm] \times [/mm] H'$ und [mm] $G\cong [/mm] G'$. Dann gilt [mm] $H\cong [/mm] H'$.

Weiß jemand ob das stimmt und hat einen Beweis? Oder ein Gegenbeispiel? Ich habe schon versucht das zu falsifizieren oder zu verifizieren, aber irgendwie bin ich auf nichts sinnvolles gekommen.

Zu Vermutung 1 z.B.: Ich wollte einen Isomorphismus von $H$ nach $H'$ mit Hilfe des Isomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] zwischen [mm] $G\times [/mm] H$ und [mm] $G\times [/mm] H'$  konstruieren. z.B. $H [mm] \ni h\mapsto (0_G,h)\mapsto \varphi(0_G,h)=(g',h')\mapsto h'\in [/mm] H'$, aber das würde nur klappen, wenn man sicherstellen kann, dass [mm] $g'=0_G$ [/mm] ist.

Hat jemand einen Ansatz? Danke!

        
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Do 11.12.2014
Autor: tobit09

Hallo Teufel!


Ich nehme mal an, $G,H,H'$ sollen jeweils Gruppen sein.

> Vermutung 1: Sei [mm]G\times H\cong G \times H'[/mm]. Dann gilt [mm]H\cong H'[/mm].

Diese Vermutung ist falsch.

Gegenbeispiel: [mm] $G=\IZ^\IN$, $H=\IZ$, $H'=\{0\}$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Do 11.12.2014
Autor: Teufel

Hi tobi!

Genau, sollten Gruppen sein. Ok vielen Dank für das Gegenbeispiel! Schade, dass das "Kürzen" so nicht klappt.

Bezug
                
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Do 11.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Die Idee zeigt auch, dass das in keiner halbwegs nichttrivialen Kategorie gilt.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Do 11.12.2014
Autor: Schadowmaster

Nochmal als Anmerkung am Rande: Es gibt solche Kürzungssätze in vielen Bereichen. Das einfachste Beispiel wäre wohl, wenn $G,H$ endlichdimensionale Vektorräume wären.
Im Bereich der quadratischen Formen gibt es den hübschen Wittschen Kürzungssatz, der dir im Endeffekt sagt unter welchen Bedingungen du quadratische Formen auf diese Art kürzen kannst.

Für allgemeine Gruppen klappt es aber - wie ja bereits festgestellt - nicht, das Konzept der Gruppe ist einfach viel zu allgemein.
Was man vielleicht noch hinkriegen könnte, wären endlich erzeugte abelsche Gruppen (indem man den Hauptsatz verwendet), aber wenn die Gruppen nicht endlich erzeugt sind wird es schwierig.

Bezug
                
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:26 Fr 12.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Nichtkommutative endlich erzeugte Gruppen - allgemein endlich erzeugte universelle Algebren eines Typs müssten glaube ich auch funktionieren, wenn ich es hinbekomme, poste ich es noch.

Wenigstens müssten $ H, H'$ dann denselben Rang haben, ein Gegenbeispiel wie von Tobias sollte damit ausscheiden.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:28 Mo 15.12.2014
Autor: andreas

Die Aussage gilt auch, falls man G, H (und damit auch H') als endliche Gruppen voraussetzt.

Bezug
                        
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Mo 15.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Hast du einen Beweis? Funktioniert der auch bei endlich erzeugten oder endlich präsentierten Gruppen? Und bei anderen algebraischen Strukturen?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
GxH = GxH' => H=H'?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mo 15.12.2014
Autor: andreas

Hallo.

Der Beweis, den ich kenne findet sich so in etwa hier: http://groupprops.subwiki.org/wiki/Direct_product_is_cancellative_for_finite_groups   Ich fürchte, dass man zumindest in diesem Beweis an mehreren Stellen die Endlichkeit der Faktoren nutzt.  Wenn sich das verallgemeinern lässt, würde mich das sehr interesssieren.

Grüße, andreas

Bezug
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