Gültigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Bsp.: Gilt L((1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1) ) =
L((1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0))?
Ich täte schon sagen ja da sich bei der ersten linearen Hülle der 4.Vektor durch die 3 anderen darstellen lässt. Ich habe ja hier zu prüfen ob das Ganze linear unabhängig ist oder nicht.
Tja meine Frage ist wie prüfe ich dass jetzt bei der ersten Hülle?
Bei der 2ten ists klar einfach Gleichungssystem und dann kommt halt für a,b,c = 0 raus-> linear unabhängig.
Tja wie schauts dann beim ersten aus? Wie kann ich durch aufstellen der Gleichungssysteme erkennen dass genau der 4.Vektor linear unabhängig ist?
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Die Vektoren der ersten lineare Hülle sind nicht linearunabhängig!
Da Sie zum Beispiel haben :
a(1,0,1,0)+b(1,0,1,1)+c(1,1,1,0)+d(1,1,1,1)=0 impliziert a=c=-1 und b=d=-1
Also das impliziert nicht immer a=b=c=d=0 also sie sind nicht linear unabhängig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 27.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Floriann!
> Die Vektoren der ersten lineare Hülle sind nicht
> linearunabhängig!
> Da Sie zum Beispiel haben :
>
> a(1,0,1,0)+b(1,0,1,1)+c(1,1,1,0)+d(1,1,1,1)=0 impliziert
> a=c=-1 und b=d=-1
Du meinst eher:
Für $a=d=-1$ und $b=c=1$ gilt etwa:
[mm]a*(1,0,1,0)+b*(1,0,1,1)+c*(1,1,1,0)+d*(1,1,1,1)=-1*(1,0,1,0)+1*(1,0,1,1)+1*(1,1,1,0)+(-1)*(1,1,1,1)=0\;(=(0,0,0,0))[/mm]
Das ist sicherlich richtig, und damit sind diese vier Vektoren linear abhängig. Aber Reaper hatte ja auch nichts anderes behauptet!
Dieses $L$ aus der Aufgabenstellung steht übrigens (anscheinend) für die "Lineare Hülle", also dem "Span(n)" der Vektoren. Irgendwie scheint mir, dass dir das nicht so klar war...
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Do 27.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reaper!
> Hallo
> Bsp.: Gilt L((1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1) ) =
>
> L((1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0))?
> Ich täte schon sagen ja da sich bei der ersten linearen
> Hülle der 4.Vektor durch die 3 anderen darstellen lässt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , es gilt ja etwa:
[mm]-1*\vektor{1\\0\\1\\0}+1*\vektor{1\\0\\1\\1}+1*\vektor{1\\1\\1\\0}=\vektor{1\\1\\1\\1}[/mm] [mm] $(\star)$ [/mm]
> Bei der 2ten ists klar einfach Gleichungssystem und dann kommt halt für
> a,b,c = 0 raus-> linear unabhängig.
Genau, und damit wäre [m]\left\{\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0}\right\}[/m] eine Basis von [mm]L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0}\right)[/mm]. Aber das brauchen wir gar nicht, denn:
Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] gilt [mm]\vektor{1\\1\\1\\1} \in L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0}\right)[/mm], und damit folgt:
[mm]L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0},\vektor{1\\1\\1\\1}\right) \subseteq L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0}\right)[/mm].
Und trivialerweise gilt:
[mm]L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0}\right)\subseteq L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0},\vektor{1\\1\\1\\1}\right)[/mm], und daher folgt:
[mm]L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0},\vektor{1\\1\\1\\1}\right)=L\left(\vektor{1\\0\\1\\0},\vektor{1\\0\\1\\1},\vektor{1\\1\\1\\0}\right)[/mm].
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 27.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo danke für die Antworten.
Nun hab ich noch eine Frage und zwar die wenn ich halt nicht so leicht erkennen kann dass sich ein Vektor durch ein Vielfaches von einem Anderen ergibt.
Nehmen wir also an dass beim vorherigen Bsp. bei der 1ten linearen Hülle es schwierig ist herauszufinden dass der 4.Vektor linear abhängig ist. Nun muss ich ja ein Gleichungssystem aufstellen mit 4 Unbekannten. Nun da wird mir wohl für a = 0, b= 0, c= 0, und d ist nicht gleich 0 herauskommen oder? Somit weiß ich dass der 4te Vektor linear abhängig ist. Wen dem nicht so wäre wäre es ja ganz schön mühselig die Abhängigkeit zu bestimmen. Stimmt nun meine Theorie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reaper!
> Hallo danke für die Antworten.
> Nun hab ich noch eine Frage und zwar die wenn ich halt
> nicht so leicht erkennen kann dass sich ein Vektor durch
> ein Vielfaches von einem Anderen ergibt.
> Nehmen wir also an dass beim vorherigen Bsp. bei der 1ten
> linearen Hülle es schwierig ist herauszufinden dass der
> 4.Vektor linear abhängig ist. Nun muss ich ja ein
> Gleichungssystem aufstellen mit 4 Unbekannten. Nun da wird
> mir wohl für a = 0, b= 0, c= 0, und d ist nicht gleich 0
> herauskommen oder?
Nein, warum sollte da $a=b=c=0$ und [mm] $d\not=0$ [/mm] herauskommen? Dafür müßte ja der 4e Vektor der Nullvektor sein, wofür die Untersuchung auf lineare Unabhängigkeit der Vektoren trivial wäre.
Nimm doch z.B. [m]\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\right\}[/m]. Das System dieser Vektoren ist linear unabhängig, aber das System:
[mm] $\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1},\vektor{1\\1\\1}\right\}$ [/mm] ist linear abhängig.
Denn die Gleichung:
[mm]a*\vektor{1\\0\\0}+b*\vektor{0\\1\\0}+c*\vektor{0\\0\\1}+d*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
impliziert nicht $a=b=c=0$ (und damit auch $d=0$); vielmehr erfüllen z.B.:
$a=b=c=1$ und $d=-1$ auch die Gleichung!
PS: War das überhaupt deine Frage? Irgendwie hat sie mich nämlich verwirrt. Um zu prüfen, ob ein System von Vektoren [mm] $\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] linear abhängig ist, hast du halt zu überprüfen, ob die Gleichung:
[mm] $\alpha_1*v_1+...+\alpha_n*v_n=0$
[/mm]
auch erfüllbar ist, wenn nicht alle [mm] $\alpha_i=0$ [/mm] sind (wenn die Gleichung nur dann erfüllbar ist, wenn alle [mm] $\alpha_i=0$ [/mm] sind, dann ist das System linear unabhängig). Dazu stellst du ein Gleichungssystem auf und löst es soweit wie möglich. Aber wenn das deine Frage nicht beantworten sollte: Hast du ein konkretes Beispiel für das, was du meinst? Deine Theorie verstehe ich jedenfalls nicht... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Viele Grüße,
Marcel
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