Gruppeniso./Homo./Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Nalfein |
Hi Leute. Kann mir vll jemand bei folgender Aufgabe helfen. Ich weiss es kann nicht sein,aber ich seh einfach keien Möglichkeit sie zu lösen:
Sei G eine Gruppe und g [mm] \in [/mm] G. Betrachte die Abb.:
[mm] \alpha [/mm] : G -> G
x [mm] \mapsto gxg^{-1}
[/mm]
In Teilaufgabe a habe ich nachgewiesen,das /alpha ein Gruppenisomorhipsmus ist.In b) soll ich nun folgendes zeigen:
Ist H eine weitere Gruppe und /beta : G -> H ein Gruppenhomomorhismus, so ist
/alpha(ker(/beta))=ker(/beta)
Für mich ist das nur der Fall,wenn der Kern trivial und damit /beta injektiv ist. Aber das steht halt nicht so in der Angabe :/
Wär super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Zu zeigen ist also [mm] $\alpha(ker(\beta)) [/mm] = [mm] ker(\beta)$. [/mm] Ich empfehle dir, zuerst die Inklusion [mm] $\alpha(\ker(\beta))\subset ker(\beta)$ [/mm] und dann [mm] $ker(\beta)\subset\alpha(ker(\beta))$ [/mm] nachzuweisen. Ist dazu [mm] $h\in \alpha(ker(\beta))$, [/mm] so hat $h$ die Form $g x [mm] g^{-1}$ [/mm] für ein [mm] $x\in ker(\beta)$. [/mm] Um zu zeigen, dass $h=g x [mm] g^{-1}\in ker(\beta)$ [/mm] ist, musst du lediglich das Bild von $h$ in [mm] $\beta$ [/mm] bestimmen und dabei beachten, dass [mm] $x\in ker(\beta)$. [/mm] Für die zweite Inklusion sei [mm] $h\in ker(\beta)$. [/mm] Dann ist $h = g [mm] (g^{-1} [/mm] h g) [mm] g^{-1}$. [/mm] Kannst du zeigen, dass [mm] $g^{-1} [/mm] h [mm] g\in ker(\beta)$ [/mm] ist, folgt [mm] $h\in \alpha(ker(\beta))$ [/mm] nach der ersten Inklusion und wir sind fertig.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Nalfein |
"Kannst du zeigen, dass ist"
"ist lediglich zu zeigen"
Sry aber an diesen beiden Stellen häng ich,wie zeig ich soetwas ohne die Abbildung /beta genau zu kennen?
Definier ich mir das selbst?
|
|
|
| |
|
> "Kannst du zeigen, dass ist"
> "ist lediglich zu zeigen"
>
> Sry aber an diesen beiden Stellen häng ich,wie zeig ich
> soetwas ohne die Abbildung /beta genau zu kennen?
> Definier ich mir das selbst?
Hallo!
Zu zeigen: [mm] \alpha(kern \beta) \subseteq [/mm] kern [mm] \beta.
[/mm]
Sei h [mm] \in \alpha(kern \beta)
[/mm]
==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] kern [mm] \beta [/mm] mit [mm] h=\alpha [/mm] (x)= [mm] gxg^{-1}
[/mm]
==> [mm] \beta [/mm] (h)= [mm] \beta (gxg^{-1})= \beta(g)\beta(x)\beta(g^{-1})
[/mm]
Was weißt du über [mm] \beta(x)? [/mm] und was folgt daraus für [mm] \beta [/mm] (h)? Also ist h... Klar?
Jetzt: kern [mm] \beta \subseteq \alpha(kern \beta) [/mm]
Sei h [mm] \in [/mm] kern [mm] \beta.
[/mm]
Es ist [mm] h=gg^{-1}hgg^{-1}= \alpha(g^{-1}hg). [/mm]
Es ist [mm] \beta(g^{-1}hg)=0 [/mm] (warum?), also [mm] g^{-1}hg \in [/mm] kern [mm] \beta
[/mm]
==> h [mm] \in [/mm] ... Auch klar?
Gruß´v. Angela
|
|
|
|
