Gruppenindex, Zentralisator,.. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie: Für [mm] $n\ge [/mm] 5$ hat [mm] $S_n$ [/mm] keine Untergruppe mit $2 < [mm] [S_n:U] [/mm] < n$.
2. Bestimmen Sie für [mm] $\pi [/mm] = [mm] (125)(47)\in S_7$ [/mm] den Zentralisator. Beweisen Sie, dass die von Ihnen gefundene Gruppe der ganze Zentralisator ist. |
Hallo!
Die obigen Aufgaben bereiten mir Kopfzerbrechen. Sie stammen aus einer Algebra 1 Klausur und ich würde sie gern mit eurer Hilfe lösen.
1. Ich habe bei Wikipedia gelesen, dass für [mm] $n\not= [/mm] 4$ (also insbesondere für $n [mm] \ge [/mm] 5$) die [mm] $S_n$ [/mm] bereits durch zwei Elemente erzeugt wird. Könnte das etwas damit zu tun haben?
[mm] [S_n:U] [/mm] ist ja due Anzahl der Rechtsnebenklassen, d.h. die Anzahl der [mm] $\sigma \in S_n$, [/mm] die zu verschiedenen [mm] $U\sigma [/mm] = [mm] \{u \sigma | u\in U\}$ [/mm] führen...
Was ich auch noch gelesen habe, ist dass die [mm] $S_n$ [/mm] nur den echten Normalteiler [mm] $A_n$ [/mm] hat, zumindest ab [mm] $n\ge [/mm] 5.$ Hilft mir das weiter?
Ich bräuchte hier einen Ansatz.
2. Der Zentralisator ist definiert durch:
[mm] $Z(\pi) [/mm] = [mm] \{\sigma \in S_7 | \sigma \pi \sigma^{-1} =\pi \}$
[/mm]
[mm] (\pi [/mm] = (125)(47))
Ich kenne mich nicht so gut damit aus, welche Permutationen von so einer Konjugation verschont bleiben. Zum Beispiel ist aber
$(36), (47), (36)(47)$
ok. Aber wie komme ich an alle Permutationen systematisch ran?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
