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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 30.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Es seien (G, *G) und (H, *H) zwei Gruppen. Eine Abbildung f: G [mm] \to [/mm] H heisst Gruppenhomomorphismus, falls für alle a,b [mm] \in [/mm] G gilt:
f(a *Gb) = f(a) *H f(b)
a) Es sei exp : [mm] (\IR, [/mm] +) [mm] \to (\IR, \*) [/mm] , x [mm] \mapsto e^{x} [/mm] Ist exp ein Gruppenhomomorphismus? (mit Beweis)
b) Es sei ln : [mm] (\IR^{+} [/mm] , [mm] \* [/mm] ) [mm] \to (\IR [/mm] , +) , x [mm] \to [/mm] lnx Ist ln ein Gruppenhomomorphismus? (mit Beweis) |
So mir ist klar dass das ein Gruppenhomomorphismus ist da ja offensichtlich [mm] e^{x+y} [/mm] = [mm] e^{x} \* e^{y} [/mm] aber wie soll ich das beweisen....
genau das selbe wie der natürliche Logarithmus ein Gruppenhomomorphismus ist!
Hat jemand eine Idee
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> Es seien (G, *G) und (H, *H) zwei Gruppen. Eine Abbildung
> f: G [mm]\to[/mm] H heisst Gruppenhomomorphismus, falls für alle a,b
> [mm]\in[/mm] G gilt:
> f(a *Gb) = f(a) *H f(b)
>
> a) Es sei exp : [mm](\IR,[/mm] +) [mm]\to (\IR, \*)[/mm] , x [mm]\mapsto e^{x}[/mm]
> Ist exp ein Gruppenhomomorphismus? (mit Beweis)
> b) Es sei ln : [mm](\IR^{+}[/mm] , [mm]\*[/mm] ) [mm]\to (\IR[/mm] , +) , x [mm]\to[/mm] lnx
> Ist ln ein Gruppenhomomorphismus? (mit Beweis)
> So mir ist klar dass das ein Gruppenhomomorphismus ist da
> ja offensichtlich [mm]e^{x+y}[/mm] = [mm]e^{x} \* e^{y}[/mm] aber wie soll
> ich das beweisen....
Hallo,
Du weißt dich schon so viel. Mach' Dir klar, daß die Verknüpfung *_G hier das ganz normale "+" ist,
und *_H die ganz normale Multiplikation.
Jetzt schau nach, was für [mm] a,b\in \IR [/mm] bei
f(a+b) und bei f(a)*f(b) jeweils herauskommt.
> genau das selbe wie der natürliche Logarithmus ein
> Gruppenhomomorphismus ist!
Beim Logarithmus entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 30.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Also einfach so?
f(a+b)= [mm] e^{a+b}=e^{a}\*e^{b}=f(a)\*f(b)
[/mm]
und [mm] f(a)\*f(b)=lna\*lnb=ln(a+b)=f(a+b)
[/mm]
so einfach? und dann halt alles noch korrekt aufschreiben mit behauptung, zu zeigen usw...
Gruß
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> Also einfach so?
So einfach. Ja.
Gruß v. Angela
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