Gruppenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? Für jede Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist, sagen Sie, ob sie injektiv, surjektiv, ein Isomorphismus ist.
f: [mm] (\IC^{stern}, [/mm] 1, *) -> [mm] (\IR^{stern}, [/mm] 1, *)
z->|z|
h: [mm] (M_4(\IC), [/mm] 0, +) -> [mm] (M_4(\IC), [/mm] 0, +)
[mm] A->A^t
[/mm]
j: [mm] (GL_4(\IC), E_4, [/mm] *) -> [mm] (GL_4(\IC), E_4, [/mm] *)
[mm] A->A^t
[/mm]
k: [mm] (GL_4(\IC), E_4, [/mm] *) -> [mm] (\IC^{stern}, [/mm] 1, *)
A-> det(A) |
Mir geht es erstmal um die Homomorphismen.
Habe bei f mal rumprobiert:
z.z.: $f((a+ib)*(c+id))=f(a+ib)*f(c+id)$
[mm] $f((a+ib)*(c+id))=f((ac-bd)+(ad+cb)i)=|(ac-bd)+(ad+cb)i|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+cb)^2}$
[/mm]
[mm] $f(a+ib)*f(c+id)=|a+ib|*|c+id|=\sqrt{a^2+b^2}*\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(a^2+b^2)*(c^2+d^2)}
[/mm]
Man sieht, dass die Wurzeln nicht gleich sind, da oben einmal etwas Negatives drin steckt, was in der 2. Wurzel nicht der Fall ist. Kann man das so zeigen?
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> Welche der folgenden Abbildungen sind
> Gruppenhomomorphismen? Für jede Abbildung, die ein
> Gruppenhomomorphismus ist, sagen Sie, ob sie injektiv,
> surjektiv, ein Isomorphismus ist.
>
> f: [mm](\IC^{stern},[/mm] 1, *) -> [mm](\IR^{stern},[/mm] 1, *)
> z->|z|
>
> h: [mm](M_4(\IC),[/mm] 0, +) -> [mm](M_4(\IC),[/mm] 0, +)
> [mm]A->A^t[/mm]
>
> j: [mm](GL_4(\IC), E_4,[/mm] *) -> [mm](GL_4(\IC), E_4,[/mm] *)
> [mm]A->A^t[/mm]
>
> k: [mm](GL_4(\IC), E_4,[/mm] *) -> [mm](\IC^{stern},[/mm] 1, *)
> A-> det(A)
> Mir geht es erstmal um die Homomorphismen.
>
> Habe bei f mal rumprobiert:
>
> z.z.: [mm]f((a+ib)*(c+id))=f(a+ib)*f(c+id)[/mm]
>
> [mm]f((a+ib)*(c+id))=f((ac-bd)+(ad+cb)i)=|(ac-bd)+(ad+cb)i|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+cb)^2}[/mm]
>
> [mm]$f(a+ib)*f(c+id)=|a+ib|*|c+id|=\sqrt{a^2+b^2}*\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(a^2+b^2)*(c^2+d^2)}[/mm]
>
> Man sieht, dass die Wurzeln nicht gleich sind, da oben
> einmal etwas Negatives drin steckt, was in der 2. Wurzel
> nicht der Fall ist. Kann man das so zeigen?
Wo "steckt" etwas negatives drin?
Multiplizier mal deine erste Wurzel aus, dann siehst du, dass doch die Eigenschaft des GH erfüllt ist. Das "+2abcd" und "-2abcd" hebt sich auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, stimmt es ist gleich, danke, nun mal zur nächsten. Dort wähle ich mir doch 2 4x4-Matrizen mit beliebigen Einträgen, [mm] a_1-a_{16} [/mm] und [mm] b_1-b_{16} [/mm] z.B. und zeige erneut f(A*B)=f(A)*f(B), das ist laut meiner Rechnung auch korrekt. Dies gilt doch auch analog für Abbildung j oder? Somit sind h und j auch Gruppenhomomorphismen, richtig?
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> Ok, stimmt es ist gleich, danke, nun mal zur nächsten.
> Dort wähle ich mir doch 2 4x4-Matrizen mit beliebigen
> Einträgen, [mm]a_1-a_{16}[/mm] und [mm]b_1-b_{16}[/mm] z.B.
ja
> und zeige erneut
> f(A*B)=f(A)*f(B),
ja
> das ist laut meiner Rechnung auch
> korrekt.
ja
> Dies gilt doch auch analog für Abbildung j oder?
ja
Ups. Danke tobit.
[mm] $A=\pmat{1&0\\0&0},B=\pmat{1&1\\0&0}$
[/mm]
> Somit sind h und j auch Gruppenhomomorphismen, richtig?
ja
wieschoo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hubbel,
> Ok, stimmt es ist gleich, danke, nun mal zur nächsten.
> Dort wähle ich mir doch 2 4x4-Matrizen mit beliebigen
> Einträgen, [mm]a_1-a_{16}[/mm] und [mm]b_1-b_{16}[/mm] z.B. und zeige erneut
> f(A*B)=f(A)*f(B), das ist laut meiner Rechnung auch
> korrekt. Dies gilt doch auch analog für Abbildung j oder?
> Somit sind h und j auch Gruppenhomomorphismen, richtig?
Nein, j ist kein Gruppenhomomorphismus, wie man sich durch ein Gegenbeispiel überlegen kann.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, ich sehe es auch gerade, die Verknüpfung ist ja ein "*" und kein "+".
Wie mache ich das am geschicktesten bei k? Ausgerechnet habe ich es schon, dass es gilt, per Beispiel, aber wie zeige ich das am besten? Bei 4x4-Matrizen habe ich es immer mit der Laplace entwicklung gemacht und dann Sarrus angewendet, bietet sich das hier an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wie mache ich das am geschicktesten bei k? Ausgerechnet
> habe ich es schon, dass es gilt, per Beispiel, aber wie
> zeige ich das am besten? Bei 4x4-Matrizen habe ich es immer
> mit der Laplace entwicklung gemacht und dann Sarrus
> angewendet, bietet sich das hier an?
Eine elementare Lösung dürfte hier schwierig sein.
Aber ihr hattet doch bestimmt in der Vorlesung den Determinantenmultiplikationssatz, dass für beliebige n x n - Matrizen A,B gilt: det(A*B) = (det A)*(det B)...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, den Satz hatten wir, ja ok, verstehe, sprich det(A)*det(B)=det(A*B), alles klar!
Jetzt mal zu dem Rest und zwar f ist meiner Meinung nach weder surjektiv, noch injektiv, da z.B. f(1)=1 und f(-1)=1, sprich die 1 wird 2mal getroffen, aber die negativen Zahlen werden in der Zielmenge überhaupt nicht getroffen, stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt mal zu dem Rest und zwar f ist meiner Meinung nach
> weder surjektiv, noch injektiv, da z.B. f(1)=1 und f(-1)=1,
> sprich die 1 wird 2mal getroffen, aber die negativen Zahlen
> werden in der Zielmenge überhaupt nicht getroffen, stimmt
> das?
Super! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Bei der h weiß ich nicht, was ich da großartig beweisen soll, da dort ja eigentlich keine Veränderung stattfindet, meiner Meinung nach ist das ein Gruppenisomorphismus, aber wie zeige ich das am besten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Bei der h weiß ich nicht, was ich da großartig beweisen
> soll, da dort ja eigentlich keine Veränderung stattfindet,
> meiner Meinung nach ist das ein Gruppenisomorphismus, aber
> wie zeige ich das am besten?
Zeige am besten, dass [mm] $h\circ h=id_{M_4(\IC)}$. [/mm] Damit hast du eine Umkehrabbildung zu h (nämlich h selbst) gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Du meinst, dass ich eine 4x4-Matrix nehme und dann zeige, dass es ein Invereses gibt, sodass die 4x4-Einheitsmatrix rauskommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Du meinst, dass ich eine 4x4-Matrix nehme und dann zeige,
> dass es ein Invereses gibt, sodass die 4x4-Einheitsmatrix
> rauskommt?
Es geht hier um transponierte Matrizen, nicht um Inverse.
Mein Vorschlag war wie gesagt, [mm] $h\circ h=id_{M_4(\IC)}$ [/mm] zu zeigen. Also wäre eine 4x4-Matrix [mm] $A=(a_{ij})_{i,j}$ [/mm] mit Koeffizienten [mm] $a_{ij}\in\IC$ [/mm] zu nehmen und [mm] $(h\circ [/mm] h)(A)=A$ zu zeigen.
Wenn du diesen "Kniff" vermeiden möchtest, verifiziere direkt Injektivität und Surjektivität getrennt.
Injektivität: Seien also [mm] $A=(a_{ij})_{i,j}$ [/mm] und [mm] $B=(b_{ij})_{i,j}$ [/mm] 4x4 Matrizen mit Koeffizienten in [mm] $\IC$ [/mm] mit $h(A)=h(B)$. Zu zeigen ist $A=B$, also [mm] $a_{ij}=b_{ij}$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in\{1,2,3,4\}$.
[/mm]
Surjektivität: Sei also [mm] $B=(b_{ij})_{i,j}$ [/mm] eine 4x4 Matrix mit Koeffizienten in [mm] $\IC$. [/mm] Gesucht ist eine weitere solche Matrix $A$ mit $h(A)=B$. Wähle [mm] $A:=B^t$ [/mm] und zeige $h(A)=B$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Do 26.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Du meinst das also so?
(will mir den Schreibkram mal ersparen und mache das mit einer 2x2-Matrix, würde das dann analog machen), also:
[mm] h( \begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix})=h (\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix})
[/mm]
<=>
[mm] (\begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix})^t=(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix})^t
[/mm]
<=>
[mm] (\begin{pmatrix}
x & z \\
y & v
\end{pmatrix})=(\begin{pmatrix}
a & c \\
b & d
\end{pmatrix})
[/mm]
Würde das schon reichen als Beweis für Injektivität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Du meinst das also so?
>
> (will mir den Schreibkram mal ersparen und mache das mit
> einer 2x2-Matrix, würde das dann analog machen), also:
>
> [mm]h( \begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix})=h (\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix})[/mm]
>
> <=>
>
> [mm](\begin{pmatrix}
x & y \\
z & v
\end{pmatrix})^t=(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix})^t[/mm]
>
> <=>
>
> [mm](\begin{pmatrix}
x & z \\
y & v
\end{pmatrix})=(\begin{pmatrix}
a & c \\
b & d
\end{pmatrix})[/mm]
>
> Würde das schon reichen als Beweis für Injektivität?
Mir wäre der letzte Schritt etwas grobschrittig. Als Zwischenschritte könntest du die transponierten Matrizen ausschreiben und dann a=x, b=y, c=z und d=v durch komponentenweisen Vergleich der transponierten Matrizen folgern.
Damit du dir keinen Wolf mit den 4x4-Matrizen schreibst: Verwende doch [mm] $A=(a_{ij})_{i,j}$ [/mm] und [mm] $B=(b_{ij})_{ij}$. [/mm] Aus $h(A)=h(B)$ folgt dann [mm] $(a_{ij})_{j,i}=A^t=B^t=(b_{ij})_{j,i}$. [/mm] Also stimmen für alle [mm] $j,i\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] die Koeffizienten [mm] $a_{ij}$ [/mm] und [mm] $b_{ij}$ [/mm] überein. Somit gilt A=B.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 26.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, analog dazu auch Surjektivität.
Ok, dann noch kurz zu k und zwar ist das meiner Meinung nach weder surjektiv, noch injektiv, da z.B. die 0 nicht getroffen wird, da G ja die Menge der invertierbaren Matrizen ist und somit det(A) und gleich 0 sein muss man könnte als Injektivität vermuten, dies gilt aber auch nicht, da z.B. mehrere Matrizen die gleiche Determinante haben können, ist dies korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Verstehe, analog dazu auch Surjektivität.
Analog?
> Ok, dann noch kurz zu k und zwar ist das meiner Meinung
> nach weder surjektiv, noch injektiv, da z.B. die 0 nicht
> getroffen wird, da G ja die Menge der invertierbaren
> Matrizen ist und somit det(A) und gleich 0 sein muss
Die 0 ist aber auch nicht Element der Gruppe [mm] $(\IC^\*,*)$.
[/mm]
> man
> könnte als Injektivität vermuten, dies gilt aber auch
> nicht, da z.B. mehrere Matrizen die gleiche Determinante
> haben können, ist dies korrekt?
Ja. Genaugenommen musst du jedoch zeigen, dass es auch innerhalb von [mm] $GL_4(\IC)$ [/mm] zwei verschiedene Matrizen mit der gleichen Determinante gibt. Gib dazu möglichst einfache invertierbare Matrizen mit gleicher Determinante an. Von welchen Matrizen kannst du am einfachsten die Determinante (und die Invertierbarkeit) bestimmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 26.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Nicht analog, aber ich weiß Bescheid, danke.
Von Diagonalmatrizen, also von welchen, die nur auf der Diagonalen etwas stehen haben und sonst nur Nullen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Von Diagonalmatrizen, also von welchen, die nur auf der
> Diagonalen etwas stehen haben und sonst nur Nullen.
Genau!
Da kannst du sicherlich zwei 4x4-Matrizen mit Koeffizienten in [mm] $\IC$ [/mm] angeben, die die gleiche Determinante ungleich 0 haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 26.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, also das ganze ist aber nur surjektiv, richtig? Habe das aus dem letzten Post nicht ganz entnehmen können ^^"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Verstehe, also das ganze ist aber nur surjektiv, richtig?
> Habe das aus dem letzten Post nicht ganz entnehmen können
Ja. (Wobei du die Surjektivität noch nicht gezeigt hast.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 26.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich weiß nun, was zu tun ist, danke!
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Hi,
Felix hat da einen klasse Beweis.
http://math.fontein.de/2010/11/10/multiplicity-of-the-determinant/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 25.04.2012 | | Autor: | hubbel |
Super, danke!
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