Gruppenhomomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Sind (G, +, 0) und (H, * , 1) zwei Gruppen, so heißt eine Abbildung [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, falls gilt:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] G: [mm] \phi [/mm] (a+b)= [mm] \phi [/mm] (a) * [mm] \phi [/mm] (b)
Zeige:
a) [mm] \phi [/mm] (0) = 1
b) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G: [mm] \phi [/mm] ( a') = ( [mm] \phi [/mm] (a) )', wobei a' das Inverse von a bzw. ( [mm] \phi [/mm] (a) )' das Inverse von [mm] \phi [/mm] (a) bezeichne.
c) Zeige, dass die Menge [mm] \phi [/mm] (G) abgeschlossen unter * ist. |
Ich komme überhaupt nicht weiter für Ansätze wäre ich sehr dankbar!
Ich habe meine Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:00 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Kann mir denn niemand helfen??? Es ist wirklich sehr dringend :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
[mm] \phi(0)= \phi(0+0)= \phi(0) [/mm] * [mm] \phi(0)
[/mm]
Auf diese Gleicung lass mal [mm] \phi(0)^{-1} [/mm] los
Zu b)
Breechne [mm] \phi(a+a') [/mm] auf 2 Arten
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Könntest du a) bitte ein bisschen genauer erklären?
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Hallo,
> Könntest du a) bitte ein bisschen genauer erklären?
... "Und danke für die Antwort" ...
Nun, 0 ist additiv neutral, also insbesondere [mm]0=0+0[/mm]
Damit [mm]\red{\varphi(0)}=\varphi(0+0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm], denn [mm]\varphi[/mm] ist Homomorphismus.
Nun ist [mm]\varphi(0)^{-1}[/mm] das bzgl. [mm]\star[/mm] Inverse zu [mm]\varphi(0)[/mm]
Du hast also die Gleichung:
[mm]\varphi(0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm]
Die verknüpfst du mit [mm]\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm], also
[mm]\varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm]
Nun?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Könntest du a) bitte ein bisschen genauer erklären?
>
> ... "Und danke für die Antwort" ...
>
> Nun, 0 ist additiv neutral, also insbesondere [mm]0=0+0[/mm]
>
> Damit
> [mm]\red{\varphi(0)}=\varphi(0+0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm],
> denn [mm]\varphi[/mm] ist Homomorphismus.
>
> Nun ist [mm]\varphi(0)^{-1}[/mm] das bzgl. [mm]\star[/mm] Inverse zu
> [mm]\varphi(0)[/mm]
>
> Du hast also die Gleichung:
>
> [mm]\varphi(0)=\varphi(0)\star\varphi(0)[/mm]
>
> Die verknüpfst du mit [mm]\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm], also
>
> [mm]\varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)}[/mm]
Hallo schachuzipus
Du meintest sicher
[mm]\varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}}[/mm]
FRED
>
> Nun?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Danke für deine antwort :))
ist das so richtig??
[mm] \phi [/mm] (0) ^(-1) = [mm] \phi [/mm] (0)^(-1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine antwort :))
>
> ist das so richtig??
>
> [mm]\phi[/mm] (0) ^(-1) = [mm]\phi[/mm] (0)^(-1)
nein. Das ist so trivial wie Otto=Otto
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Was mache ich jetzt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Was mache ich jetzt??
Linke und rechte Seite von
$ [mm] \varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}} [/mm] $
ausrechnen. Das wirst Du doch hinkriegen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Aber wenn ich das ausrechne, kommt doch das, was ich eben geschrieben habe raus??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aber wenn ich das ausrechne, kommt doch das, was ich eben
> geschrieben habe raus??
Nein, zum Donnerwetter !
Wir haben:
$ [mm] \varphi(0)\star\blue{\varphi(0)^{-1}}=(\varphi(0)\star\varphi(0))\star\blue{\varphi(0)^{-1}} [/mm] $
Wir setzen abkürzend: $a:= [mm] \varphi(0)$
[/mm]
Dann steht oben:
$a [mm] \star a^{-1}= [/mm] (a [mm] \star [/mm] a [mm] )\star a^{-1}$
[/mm]
$a [mm] \star a^{-1}$ [/mm] ergibt was ?
Weiter ist $(a [mm] \star [/mm] a [mm] )\star a^{-1}= [/mm] a [mm] \star [/mm] (a [mm] \star a^{-1})$
[/mm]
Also ist $a [mm] \star [/mm] (a [mm] \star a^{-1}) [/mm] = $ ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
a*(a*a^(-1)) = (a*a)*a^(-1)
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Hallo,
> a*(a*a^(-1)) = (a*a)*a^(-1)
Ja, das ist die Assoziativität der Verknüpfung, aber was ist die Frage?
Und vor allem, was hat das mit dem (Auf-)Lösen der letzten Geichung zu tun?
Ich verweise auf Freds Frage..
Antworte darauf in einem ganzen Satz, so dass wir verstehen, was du meinst!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Ich kann das wirklich nicht, sonst würde ich es ja auch schreiben, aber ich versuche seit fast 24 stunden diese aufgabe zu lösen und komme keinen schritt weiter :( bin eben zu dumm für solche aufgaben :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
kann mir das denn jemand "vorrechnen"? damit ich das endlich mal verstehe :(
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Hallo,
das ist bereits geschehen in diesem thread!
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Ich kann das wirklich nicht, sonst würde ich es ja auch
> schreiben, aber ich versuche seit fast 24 stunden diese
> aufgabe zu lösen und komme keinen schritt weiter
Keinen Schritt?
Die a) ist dir fast bis zum Ende vorgemacht worden.
Wie kannst du das sagen???????????
Es fehlt ein Miniminiminimalschritt
> :( bin
> eben zu dumm für solche aufgaben :(
Das Problem ist eher, dass du nicht auf Rückfragen eingehst!
Sonst wäre schon alles fertig!
Fred hatte gefragt, was [mm]a\star a^{-1}[/mm] ergibt.
Wenn du dir und uns das mal klar machst und zu der letzten Gleichung
[mm]\varphi(0)\star\varphi(0)^{-1}=\varphi(0)\star(\varphi(0)\star\varphi(0)^{-1})[/mm] zurück gehst, dann ist es klar.
Also konkret: Was ergibt [mm]a\star a^{-1}[/mm] (bzw. dann übertragen hier: [mm]\varphi(0)\star\varphi(0)^{-1}[/mm])
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
a^(-1) ?
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Hallo,
> a^(-1) ?
du rätst wahl- und planlos rum.
Schaue im Skript oder deiner Vorlesungsmitschrift nach, was bei der Definition von Gruppen zu den Inversen steht.
Eine Gruppe [mm](G,\star)[/mm] hat (u.a.) ein (eindeutiges) neutr. Element [mm]e[/mm] (oder [mm]1[/mm])
Zu jedem Element [mm]a\in G[/mm] ex. ein inverses Element [mm]a^{-1}\in G[/mm] mit [mm]a\star a^{-1}=...[/mm] und auch [mm]a^{-1}\star a=...[/mm]
Und was da bei den Pünktchen hin muss, wollten wir von dir wissen ...
Mehr nicht!
Wenn du nicht weiß, was bei ... stehen muss, schaue nach.
Ich finde das sehr sehr bedenklich!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Ich rate nicht...ich weiß nur nicht, was ihr von mir wollt. Außerdem hatten wir soetwas nicht in der vorlesung. Was kommt denn da jetzt raus?
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Hallo,
> Ich rate nicht...ich weiß nur nicht, was ihr von mir
> wollt. Außerdem hatten wir soetwas nicht in der vorlesung.
Aha, Gruppen waren nicht dran, aber Gruppenhomomorphismen ...
Soso ...
> Was kommt denn da jetzt raus?
42, das ist die Lösung auf alle Fragen des Universums.
Ich gebe auf, vllt. hat jemand anderes noch Lust?
Trotzdem drücke ich die Daumen - nichts für ungut
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] a\star a^{-1}=a^{-1}\star [/mm] a=1$ (= Einsel. der Gruppe H)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Mache ich das bei b) genau wie bei a)??
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Hallo,
> Mache ich das bei b) genau wie bei a)??
Zumindest sehr sehr ähnlich.
Betrachte mal [mm]1=\varphi(0)=\varphi(a+a^{-1})[/mm]
Nun nutze aus, dass [mm]\varphi[/mm] ein Homomorphismus ist und behalte im Kopf, worauf du hinauswillst.
Dann siehst du schon die entscheidende Umformung
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
[mm] \phi [/mm] (a) * [mm] \phi(a)^{-1} [/mm] = 1 = [mm] \phi(a^{-1})*\phi(a)
[/mm]
[mm] \phi(a^{-1})*\phi(a)=\phi(a^{-1}*a)=\phi(0)=1
[/mm]
Ist das so richtig??
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Hallo nochmal,
> [mm]\phi[/mm] (a) * [mm]\phi(a)^{-1}[/mm] = 1 = [mm]\phi(a^{-1})*\phi(a)[/mm]
>
> [mm]\phi(a^{-1})*\phi(a)=\phi(a^{-1}\red{+}a)=\phi(0)=1
[/mm]
Da muss natürlich [mm]\red{+}[/mm] stehen, du bist ja in G und dort wird additiv verknüpft.
>
>
> Ist das so richtig??
Ja, fast, du bist nun bei:
[mm]\varphi\left(a^{-1}\right)\star\varphi(a)=1[/mm]
Nun rechne [mm]\star\varphi(a)^{-1}[/mm] von rechts (auf beiden Seiten der Gleichung)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 Do 02.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
1=f(O) =f (a [mm] \circ a^{-1}) [/mm] = f(A) [mm] \circ f(a^{-1} [/mm] )
[mm] \Rightarrow f(a^{-1}) [/mm] = [mm] f(A)^{-1}
[/mm]
so? und, was haben die 113 10 zu bedeuten??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Sa 04.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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