Gruppenhomomorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen von
[mm] (\IZ, [/mm] +) nach [mm] (\IQ,+) [/mm] |
Hallo,
also ich behaupte mal, dass alle Homomorphismen von der Form [mm] \alpha(x)= [/mm] qx , [mm] \forall [/mm] q [mm] \in \IQ [/mm] ist.
Das dies ein Homomorphismus is, konnte ich bereits zeigen, nur hänge ich am 2. Teil der Aufgabe, zz. dass es wirklich keine weiteren Morphismen gibt. Wie geht man bei sowas im Allgemeinen vor. Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mi 20.05.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen von
> [mm](\IZ,[/mm] +) nach [mm](\IQ,+)[/mm]
> also ich behaupte mal, dass alle Homomorphismen von der
> Form [mm]\alpha(x)=[/mm] qx , [mm]\forall[/mm] q [mm]\in \IQ[/mm] ist.
> Das dies ein Homomorphismus is, konnte ich bereits zeigen,
> nur hänge ich am 2. Teil der Aufgabe, zz. dass es wirklich
> keine weiteren Morphismen gibt.
Naja, [mm] \IZ [/mm] ist eine zyklische Gruppe und wird z. B. von der 1 erzeugt. Was reicht also, um den Homomorphismus festzulegen?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Zu wissen was [mm] \alpha(1) [/mm] und [mm] \alpha(-1) [/mm] ist?Okay, diese [mm] \alpha [/mm] miteinander verknüpft komm ich auf jeden Wert von [mm] \IZ. [/mm] Muss ich da nun ne vollständige Induktion oder so durchführenum um es zu zeigen? Irgendwie bringt mich das in der Beweisidee nicht wirklich weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Mi 20.05.2009 | | Autor: | statler |
> Zu wissen was [mm]\alpha(1)[/mm] und [mm]\alpha(-1)[/mm] ist?Okay, diese
> [mm]\alpha[/mm] miteinander verknüpft komm ich auf jeden Wert von
> [mm]\IZ.[/mm] Muss ich da nun ne vollständige Induktion oder so
> durchführenum um es zu zeigen? Irgendwie bringt mich das
> in der Beweisidee nicht wirklich weiter.
Wenn du ganz vorne starten willst, dann müßtest du nacheinander zeigen:
Das Bild des neutralen Elementes ist das neutrale Element.
Das Bild des Inversen ist das Inverse des Bildes.
Das Bild einer n-ten Potenz ist die n-te Potenz des Bildes (mit vollst. Ind.)
Dann hast du den allgmeinen Apparat und bist durch, weil dann
[mm] \alpha(s) [/mm] = [mm] \alpha(s*1) [/mm] = [mm] s*\alpha(1) [/mm] für s [mm] \in \IZ [/mm] ist.
Also brauchst du nur das Bild der 1, und das kannst du beliebig vorgeben.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Do 21.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke, das war sehr hilfreich
|
|
|
|
