Gruppenhomomor. + Normalteiler < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hier sind drei angebliche Beweise dafür, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus f: G [mm] \to [/mm] G' stets ein Normalteiler ist. Welche sind richtig, welche fehlerhaft?
1.) Seien h [mm] \in [/mm] ker f und g [mm] \in [/mm] G beliebig gegeben. Dann ist
[mm] f(g^{-1}hg) [/mm] = [mm] f(g^{-1}gh) [/mm] = f(1h) = f(h) = [mm] 1_{G'} [/mm] , und es folgt
[mm] g^{-1}hg \in [/mm] ker f.
2.) Seien h [mm] \in [/mm] ker f und g [mm] \in [/mm] G beliebig gegeben. Dann ist
[mm] f(g^{-1}hg) [/mm] = [mm] f(hg^{-1}g) [/mm] = f(h1) = f(h) = [mm] 1_{G'} [/mm] , und es folgt
[mm] g^{-1}hg \in [/mm] ker f.
3.) Seien h [mm] \in [/mm] ker f und g [mm] \in [/mm] G beliebig gegeben. Dann ist
[mm] f(g^{-1}hg) [/mm] = [mm] f(g^{-1}) [/mm] f(h) f(g) = [mm] f(g^{-1}) [/mm] f(g) = [mm] f(g^{-1}g) [/mm]
= f(1) = [mm] 1_{G'} [/mm] , und es folgt [mm] g^{-1}hg \in [/mm] ker f.
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Hallo!
Ich bin der Meinung, dass 3.) richtig ist und bei 1.) und 2.) denke ich, dass sie fehlerhaft sind, da jeweils beim ersten Gleichheitszeichen Kommutativität vorrausgesetzt wird.
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob mein Überlegungen richtig sind!
Vielen Dank!
MfG
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Deine Überlegungen sind genau richtig.
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