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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mo 27.07.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(G,·) sei eine Gruppe. Dann gilt für alle a ∈ M, m, n ∈ Z: [mm] a^{m+n} [/mm] = [mm] a^m [/mm] · [mm] a^n [/mm] und [mm] (a^m)^n= [/mm] a^(m·n) |
G1-Assoziativ
[mm] a^{(m+n)+l)} [/mm] = [mm] (a^m [/mm] * [mm] a^n) [/mm] * [mm] a^l [/mm] = [mm] a^m [/mm] * [mm] a^n [/mm] * [mm] a^l [/mm] = [mm] a^m [/mm] * ( [mm] a^n [/mm] * [mm] a^l) [/mm] = [mm] a^{(m+n)+l)} [/mm]
G2-neutrales Element
[mm] a^{m+e} [/mm] = [mm] a^m [/mm] * [mm] a^e [/mm] = [mm] a^m, [/mm] wenn e=0
G3-inverses Element
0 = [mm] a^{m+m^{-1}} [/mm] = [mm] a^m [/mm] * [mm] a^{m^{-1}} [/mm] = [mm] a^m [/mm] * [mm] a^{-m} [/mm] = 0
Ist mein Ansatz richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 28.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rsprsp!
> Zeigen Sie:
> (G,·) sei eine Gruppe. Dann gilt für alle a ∈ M,
Hier soll es wohl [mm] $a\in [/mm] G$ statt [mm] $a\in [/mm] M$ heißen.
> m, n
> ∈ Z: [mm]a^{m+n}[/mm] = [mm]a^m[/mm] · [mm]a^n[/mm] und [mm](a^m)^n=[/mm] a^(m·n)
> G1-Assoziativ
> [mm]a^{(m+n)+l)}[/mm] = [mm](a^m[/mm] * [mm]a^n)[/mm] * [mm]a^l[/mm] = [mm]a^m[/mm] * [mm]a^n[/mm] * [mm]a^l[/mm] = [mm]a^m[/mm] *
> ( [mm]a^n[/mm] * [mm]a^l)[/mm] = [mm]a^{(m+n)+l)}[/mm]
> G2-neutrales Element
> [mm]a^{m+e}[/mm] = [mm]a^m[/mm] * [mm]a^e[/mm] = [mm]a^m,[/mm] wenn e=0
> G3-inverses Element
> 0 = [mm]a^{m+m^{-1}}[/mm] = [mm]a^m[/mm] * [mm]a^{m^{-1}}[/mm] = [mm]a^m[/mm] * [mm]a^{-m}[/mm] = 0
>
> Ist mein Ansatz richtig ?
Du scheinst die Aufgabenstellung missverstanden zu haben und versuchst anscheinend irgendwie, die definierenden Gruppeneigenschaften [mm] $G_1$, $G_2$ [/mm] und [mm] $G_3$ [/mm] zu verifizieren.
[mm] $G_1$, $G_2$ [/mm] und [mm] $G_3$ [/mm] zu verifizieren ist nur dann sinnvoll, wenn man nachweisen möchte, dass eine gewisse Menge mit einer gewissen Verknüpfung eine Gruppe bildet.
Darum geht es in dieser Aufgabe jedoch nicht.
In der Aufgabe wird zunächst als Annahme VORAUSGESETZT, dass $(G,*)$ eine Gruppe ist.
(Wie G genau aussieht, wissen wir gar nicht.)
Zu zeigen sind nun für beliebig vorgegebene [mm] $a\in [/mm] G$, [mm] $m,n\in\IZ$ [/mm] die Gültigkeit der Gleichungen
1. [mm]a^{m+n}[/mm] = [mm]a^m[/mm] · [mm]a^n[/mm]
und
2. [mm](a^m)^n=[/mm] [mm] $a^{m*n}$.
[/mm]
Die wichtigste "Zutat" dazu ist die Definition von [mm] $a^n$ [/mm] für [mm] $a\in [/mm] G$ und [mm] $n\in\IZ$.
[/mm]
Schlage sie nach und poste sie am besten hier, damit man auf eure Formulierung der Definition eingehen kann.
(Da diese Definition bestimmt unterschiedliche Fälle unterscheidet, wird der Beweis obiger Rechenregeln 1. und 2. wohl nicht ohne Fallunterscheidungen auskommen.)
Viele Grüße
Tobias
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