Gruppen Partitionen von Mengen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 13.11.2008 | | Autor: | frankina |
| Aufgabe | In [mm] $S_n$ [/mm] betrachten wir für [mm] $\phi \in S_n$ [/mm] die Untergruppe [mm] $(\phi) [/mm] := [mm] \{\phi^{i}| i \in \IZ\}$. [/mm] Die Zahl
[mm] $o(\phi) [/mm] := [mm] |(\phi)|$ [/mm] heißt Ordnung von [mm] \phi.
[/mm]
(1) Zeigen Sie: [mm] $(\phi) [/mm] = [mm] \{\phi^{i}| i \in \IN\}$.
[/mm]
(2)$ M:= [mm] \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\} [/mm] $ mit [mm] $ \gamma [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] := [mm] \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}$ [/mm] ist eine Partition der Menge
[mm] $S_n$. [/mm] |
(1) Hm was muss ich hier noch zeigen? Es ist doch [mm] $\IN \in \IZ$ [/mm] und damit ist die Behauptung ja durch die Definition [mm] $(\phi) [/mm] := [mm] \{\phi^{i}| i \in \IZ\}$ [/mm] bewiesen oder??
(2) Zu zeigen: [mm] $\bigcup_{i \in I} M_i [/mm] = [mm] S_n$ [/mm] und [mm] $M_i \cap M_j [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] für [mm] $M_i \not= M_j$
[/mm]
Mich verwirrt, dass da $ [mm] \gamma [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] $ steht.
Also $ [mm] (\phi)$ [/mm] ist doch die Untermenge von [mm] $S_n$ [/mm] und $ [mm] \gamma [/mm] $ ist auch eine Menge von [mm] $S_n$ [/mm] ??
[mm] $\bigcup_{i \in I} M_i [/mm] = [mm] \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}$ [/mm] ...
[mm] $M_i \cap M_j [/mm] = [mm] \{ \gamma * (\phi_i)| \gamma \in S_n\} \cap \{ \gamma * (\phi_j)| \gamma \in S_n\} [/mm] $ ...
Weiß leider nicht wirklich wie ich das zeige.
Kann mir jemand einen Ansatz zeigen??
Vielen Dank!
Frankina
|
|
| |
|
> In [mm]S_n[/mm] betrachten wir für [mm]\phi \in S_n[/mm] die Untergruppe
> [mm](\phi) := \{\phi^{i}| i \in \IZ\}[/mm]. Die Zahl
> [mm]o(\phi) := |(\phi)|[/mm] heißt Ordnung von [mm]\phi.[/mm]
>
> (1) Zeigen Sie: [mm](\phi) = \{\phi^{i}| i \in \IN\}[/mm].
>
> (2)[mm] M:= \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}[/mm] mit [mm] \gamma * (\phi) := \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}[/mm]
> ist eine Partition der Menge
> [mm]S_n[/mm].
> (1) Hm was muss ich hier noch zeigen? Es ist doch [mm]\IN \in \IZ[/mm]
> und damit ist die Behauptung ja durch die Definition [mm](\phi) := \{\phi^{i}| i \in \IZ\}[/mm]
> bewiesen oder??
Hallo,
nein, das ist sie nicht.
Daß [mm] \{\phi^{i}| i \in \IN\}\subseteq \{\phi^{i}| i \in \Z\}, [/mm] ist wirklich sonnenklar, aber die umgekehrte Richtung nicht.
Und erst, wenn die umgekehrte Richtung auch stimmt, hat man Mengengleichheit.
>
> (2) Zu zeigen: [mm]\bigcup_{i \in I} M_i = S_n[/mm] und [mm]M_i \cap M_j = \emptyset[/mm]
> für [mm]M_i \not= M_j[/mm]
>
> Mich verwirrt, dass da [mm]\gamma * (\phi)[/mm] steht.
> Also [mm](\phi)[/mm] ist doch die Untermenge von [mm]S_n[/mm]
Nein. Schau Dir die Def. von M an. Da steht [mm] \gamma \in S_n. [/mm] Also ist das ein Element aus [mm] S_n.
[/mm]
Die Multiplikation einer Menge mit einem Element mußte eigentlcih bei Euch irgendwo definiert sein.
Mit [mm] \gamma*(\Phi) [/mm] dürfte gemeint sein: [mm] \gamma*(\Phi):=\{ \gamma * x | x\in (\Phi)\}. [/mm] Veergleiche das mit Eurer definition.
Da sind alle die Elemente drin, die man erhält, wenn man alle Elemente von [mm] (\phi) [/mm] von vorm mit [mm] \gamma [/mm] verknüpft.
> und [mm]\gamma[/mm]
> ist auch eine Menge von [mm]S_n[/mm] ??
Wie gesagt: [mm] \gamma [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] S_n.
[/mm]
[mm] S_n [/mm] enthält nun ja sehr viele Elemente.
Also sind in M ganz viele solcher Mengen der Gestalt [mm] \gamma [/mm] * [mm] (\phi).
[/mm]
Du sollst nun zeige, daß das eine Partition von [mm] S_n [/mm] ist.
Das bedeutet:
1. [mm] S_n [/mm] ist die Vereinigung all dieser Mengen
2. Alle [mm] \gamma [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] sind nichtleer
3. Wenn der Schnitt von [mm] \gamma_1 [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] und [mm] \gamma_2* (\phi) [/mm] nichtleer ist, sind die beiden mengen gleich.
Vergleiche das mit dem, wie Ihr Partition definiert habt.
ich hoffe, daß alles ein bißchen klarer geworden ist.
Gruß v. Angela
> [mm]\bigcup_{i \in I} M_i = \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}[/mm]
> ...
> [mm]M_i \cap M_j = \{ \gamma * (\phi_i)| \gamma \in S_n\} \cap \{ \gamma * (\phi_j)| \gamma \in S_n\} [/mm]
> ...
> Weiß leider nicht wirklich wie ich das zeige.
> Kann mir jemand einen Ansatz zeigen??
>
> Vielen Dank!
> Frankina
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Fr 14.11.2008 | | Autor: | frankina |
> > In [mm]S_n[/mm] betrachten wir für [mm]\phi \in S_n[/mm] die Untergruppe
> > [mm](\phi) := \{\phi^{i}| i \in \IZ\}[/mm]. Die Zahl
> > [mm]o(\phi) := |(\phi)|[/mm] heißt Ordnung von [mm]\phi.[/mm]
> >
> > (1) Zeigen Sie: [mm](\phi) = \{\phi^{i}| i \in \IN\}[/mm].
> >
> > (2)[mm] M:= \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}[/mm] mit [mm] \gamma * (\phi) := \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}[/mm]
> > ist eine Partition der Menge [mm]S_n[/mm].
> Daß [mm]\{\phi^{i}| i \in \IN\}\subseteq \{\phi^{i}| i \in \IZ\},[/mm]
> ist wirklich sonnenklar, aber die umgekehrte Richtung
> nicht. Und erst, wenn die umgekehrte Richtung auch stimmt, hat
> man Mengengleichheit.
Ok klar aber wie soll ich denn zeigen, dass [mm] $\IZ \subseteq \IN$ [/mm] bzw. [mm] \{\phi^{i}| i \in \IZ\} \subseteq \{\phi^{i}| i \in \IN\}[/mm] ??
Das kann doch nich hinhauen, oder??
> Wie gesagt: [mm]\gamma[/mm] * [mm](\phi)[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]S_n.[/mm]
> [mm]S_n[/mm] enthält nun ja sehr viele Elemente.
> Also sind in M ganz viele solcher Mengen der Gestalt >[mm]\gamma[/mm] * [mm](\phi).[/mm]
>
> Du sollst nun zeige, daß das eine Partition von [mm]S_n[/mm] ist.
> Das bedeutet:
> 1. [mm]S_n[/mm] ist die Vereinigung all dieser Mengen
z.z.: $ [mm] \bigcup_{i \in I} M_i [/mm] = [mm] S_n [/mm] $
$ [mm] \bigcup_{i \in I} M_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I} \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I}\{ \gamma \cdot{} \phi^{n}| n \in \IZ\ , \gamma \in S_n\}_i [/mm] = [mm] S_n$ [/mm] ???
Das ist wohl nicht richtig, aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
[mm] $S_n$ [/mm] ist ja nicht weiter definiert.
> 2. Alle [mm]\gamma * (\phi)[/mm] sind nichtleer.
z.z.: [mm]\gamma * (\phi) \not= \emptyset[/mm]
[mm] $\gamma [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] = [mm] \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\} [/mm] $ ... Wie geht es hier weiter?
[mm] $\gamma [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] = [mm] \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\} [/mm] = [mm] \gamma [/mm] * [mm] \phi^{n} \not= \emptyset$, [/mm] für $ [mm] \gamma [/mm] , [mm] \phi^{n} \not= \emptyset$ [/mm] Irgendwie so vielleicht???
> 3. Wenn der Schnitt von [mm]\gamma_1[/mm] * [mm](\phi)[/mm] und [mm]\gamma_2* (\phi)[/mm]
> nichtleer ist, sind die beiden mengen gleich.
z.z.: [mm]\gamma_1 * (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) \not= \emptyset \gdw \gamma_1 * (\phi) =\gamma_2* (\phi)[/mm]
Hier hab ich leider auch keine Ahnung wies weiter geht.
> Vergleiche das mit dem, wie Ihr Partition definiert habt.
Ja so haben wir das auch definiert.
Aber das zu beweisen fällt mir schwer.
Das ist alles neu für mich und vielleicht hat jemand die Zeit mir da weiter zu helfen!
Vielen Dank!
Frankina
|
|
|
| |
|
> > > In [mm]S_n[/mm] betrachten wir für [mm]\phi \in S_n[/mm] die Untergruppe
> > > [mm](\phi) := \{\phi^{i}| i \in \IZ\}[/mm]. Die Zahl
> > > [mm]o(\phi) := |(\phi)|[/mm] heißt Ordnung von [mm]\phi.[/mm]
> > >
> > > (1) Zeigen Sie: [mm](\phi) = \{\phi^{i}| i \in \IN\}[/mm].
> > >
>
> > > (2)[mm] M:= \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}[/mm] mit [mm] \gamma * (\phi) := \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}[/mm]
> > > ist eine Partition der Menge [mm]S_n[/mm].
>
>
> > Daß [mm]\{\phi^{i}| i \in \IN\}\subseteq \{\phi^{i}| i \in \IZ\},[/mm]
> > ist wirklich sonnenklar, aber die umgekehrte Richtung
> > nicht. Und erst, wenn die umgekehrte Richtung auch stimmt,
> hat
> > man Mengengleichheit.
>
> Ok klar aber wie soll ich denn zeigen, dass [mm]\IZ \subseteq \IN[/mm]
> bzw. [mm]\{\phi^{i}| i \in \IZ\} \subseteq \{\phi^{i}| i \in \IN\}[/mm]
> ??
> Das kann doch nich hinhauen, oder??
Hallo,
[mm] \IZ \subseteq \IN [/mm] steht hier nicht zur Debatte, das wäre ja [mm] Quatsch^3.
[/mm]
Sondern, wie Du selbst sagst, ist zu zeigen [mm] \{\phi^{i}| i \in \IZ\} \subseteq \{\phi^{i}| i \in \IN\}.
[/mm]
Dazu mußt Du zeigen, daß jedes Element aus der ersten Menge auch in der zweiten liegt.
Nun, für diejenigen mit natürlichem Exponenten ist das klar.
Was ist nun aber mit [mm] \sigma^{-m}, m\in \IN, [/mm] also mit denen mit negativem Exponenten ? Das muß man sich überlegen.
Zunächst einmal muß man wissen, was mit [mm] \sigma^{-m} [/mm] gemeint ist. Wie hattet Ihr die neg. Exponenten erklärt?
Danach ist zu überlegen, ob man eine natürliche Zahl [mm] m_1 [/mm] findet mit [mm] \sigma^{-m}=\sigma^{m_1}.
[/mm]
> > Wie gesagt: [mm]\gamma[/mm] * [mm](\phi)[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]S_n.[/mm]
> > [mm]S_n[/mm] enthält nun ja sehr viele Elemente.
> > Also sind in M ganz viele solcher Mengen der Gestalt
> >[mm]\gamma[/mm] * [mm](\phi).[/mm]
> >
> > Du sollst nun zeigen, daß das eine Partition von [mm]S_n[/mm] ist.
> > Das bedeutet:
> > 1. [mm]S_n[/mm] ist die Vereinigung all dieser Mengen
>
Zu zeigen ist ist hier
[mm] \bigcup_{\gamma \in S_n}\gamma*(\sigma)=S_n,
[/mm]
also wieder beide Teilmengenbeziehungen.
> [mm]S_n[/mm] ist ja nicht weiter definiert.
Ich empfehle Dir, gründlichst Deine Mitschrift/Skript durchzusehen.
Ich bin mir sicher, daß das irgendwie definiert wurde.
> > 2. Alle [mm]\gamma * (\phi)[/mm] sind nichtleer.
>
> z.z.: [mm]\gamma * (\phi) \not= \emptyset[/mm]
> [mm]\gamma * (\phi) = \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}[/mm]
> ... Wie geht es hier weiter?
Du mußt ein Element angeben, welches drin ist.
> > 3. Wenn der Schnitt von [mm]\gamma_1[/mm] * [mm](\phi)[/mm] und [mm]\gamma_2* (\phi)[/mm]
> > nichtleer ist, sind die beiden mengen gleich.
>
> z.z.: [mm]\gamma_1 * (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) \not= \emptyset \gdw \gamma_1 * (\phi) =\gamma_2* (\phi)[/mm]
> Hier hab ich leider auch keine Ahnung wies weiter geht.
Auf jeden Fall sind zwei Richtungen zu zeigen.
Die eine Richtung ist so einfach, daß eigentlich nichts zu zeigen ist.
Die andere Richtung kannst Du per Widerspruch versuchen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> > > > In [mm]S_n[/mm] betrachten wir für [mm]\phi \in S_n[/mm] die Untergruppe
> > > > [mm](\phi) := \{\phi^{i}| i \in \IZ\}[/mm]. Die Zahl
> > > > [mm]o(\phi) := |(\phi)|[/mm] heißt Ordnung von [mm]\phi.[/mm]
> > > >
> > > > (1) Zeigen Sie: [mm](\phi) = \{\phi^{i}| i \in \IN\}[/mm].
> >
> > > > (2)[mm] M:= \{ \gamma * (\phi)| \gamma \in S_n\}[/mm] mit [mm] \gamma * (\phi) := \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}[/mm]
> > > > ist eine Partition der Menge [mm]S_n[/mm].
> >
> Sondern, wie Du selbst sagst, ist zu zeigen [mm]\{\phi^{i}| i \in \IZ\} \subseteq \{\phi^{i}| i \in \IN\}.[/mm]
> Dazu mußt Du zeigen, daß jedes Element aus der ersten Menge
> auch in der zweiten liegt.
> Nun, für diejenigen mit natürlichem Exponenten ist das
> klar.
> Was ist nun aber mit [mm]\sigma^{-m}, m\in \IN,[/mm] also mit denen
> mit negativem Exponenten ? Das muß man sich überlegen.
> Zunächst einmal muß man wissen, was mit [mm]\sigma^{-m}[/mm]
> gemeint ist. Wie hattet Ihr die neg. Exponenten erklärt?
[mm]\sigma^{-m} := (\sigma^{-1})^{m}[/mm]
> Danach ist zu überlegen, ob man eine natürliche Zahl [mm]m_1[/mm]
> findet mit [mm]\sigma^{-m}=\sigma^{m_1}.[/mm]
Das müsste ja dann einfach das Inverse Element von [mm] $\sigma$ [/mm] sein.
Wie schreib ich das jetzt auf?
z.z: [mm]\{\sigma^{i}| i \in \IN\} \subseteq \{\sigma^{i}| i \in \IZ\} \subseteq .[/mm] trivial da $ [mm] \IN\ \subseteq \IZ$.
[/mm]
z.z.: [mm]\{\sigma^{i}| i \in \IZ\} \subseteq \{\sigma^{i}| i \in \IN\}.[/mm]
Fall 1: [mm] $\{\sigma^{i}| i \in \IZ^{+} \}$
[/mm]
[mm] $\forall \{\sigma^{i}| i \in \IZ^{+} \} [/mm] : [mm] \{\sigma^{i}| i \in \IN\}$
[/mm]
Fall 2: $ [mm] \{\sigma^{i}| i \in \IZ^{-} \}$
[/mm]
[mm] $\forall \sigma^{-i} [/mm] : [mm] (\sigma^{-1})^{i} \in \{\sigma^{i}| i \in \IN\}$
[/mm]
So in etwa??
> > > Du sollst nun zeigen, daß das eine Partition von [mm]S_n[/mm] ist.
> > > Das bedeutet:
> > > 1. [mm]S_n[/mm] ist die Vereinigung all dieser Mengen
> Zu zeigen ist ist hier
> [mm]\bigcup_{\gamma \in S_n}\gamma*(\sigma)=S_n,[/mm]
> also wieder beide Teilmengenbeziehungen.
> > [mm]S_n[/mm] ist ja nicht weiter definiert.
> Ich empfehle Dir, gründlichst Deine Mitschrift/Skript
> durchzusehen.
Stimmt habe es gefunden: [mm] $S_n [/mm] = [mm] S(I_n)$ [/mm] bezeichnet die Gruppe der Permutationen der n-elementigen Menge [mm] $I_n [/mm] = [mm] \{1, ... , n\}$.
[/mm]
Also ist [mm] $\bigcup_{\gamma \in S_n}\gamma*(\sigma) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 ... n \\ \sigma(\gamma(1)) ... \sigma(\gamma(n))} [/mm] = [mm] S_n$ [/mm] ???
> > > 2. Alle [mm]\gamma * (\phi)[/mm] sind nichtleer.
> > z.z.: [mm]\gamma * (\phi) \not= \emptyset[/mm]
> > [mm]\gamma * (\phi) = \{ \gamma * \phi^{n}| n \in \IZ\}[/mm]
> > ... Wie geht es hier weiter?
> Du mußt ein Element angeben, welches drin ist.
Das müsste doch dann eins der Elemente $ [mm] \{1, ... , n\}$ [/mm] sein oder??
> > > 3. Wenn der Schnitt von [mm]\gamma_1[/mm] * [mm](\phi)[/mm] und [mm]\gamma_2* (\phi)[/mm]
> > > nichtleer ist, sind die beiden mengen gleich.
> > z.z.: [mm]\gamma_1 * (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) \not= \emptyset \gdw \gamma_1 * (\phi) =\gamma_2* (\phi)[/mm]
> > Hier hab ich leider auch keine Ahnung wies weiter geht.
>
> Auf jeden Fall sind zwei Richtungen zu zeigen.
> Die eine Richtung ist so einfach, daß eigentlich nichts zu
> zeigen ist.
> Die andere Richtung kannst Du per Widerspruch versuchen.
[mm]\gamma_1 * (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) \not= \emptyset \Rightarrow \gamma_1 * (\phi) =\gamma_2* (\phi)[/mm]
[mm]\gamma_1 * (\phi) =\gamma_2* (\phi) \Rightarrow \gamma_1 * (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) \not= \emptyset [/mm]
Wenn [mm] $\gamma_1 [/mm] * [mm] (\phi) =\gamma_2* (\phi) [/mm] $ kann nicht $ [mm] \gamma_1 [/mm] * [mm] (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $ sein.
Da [mm] $\forall \gamma_1 \in S_n: \gamma_2 \in S_n \gdw \gamma_1 [/mm] * [mm] (\phi) =\gamma_2* (\phi) [/mm] $.
Also muss [mm]\gamma_1 * (\phi) =\gamma_2* (\phi) \gdw \gamma_1 * (\phi) \cap \gamma_2* (\phi) \not= \emptyset [/mm] sein.
Ist das richtig??
Vielen Dank für die Antworten! Haben mir auf jeden Fall weiter geholfen!
mfG
Frankina
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
