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Hallo zusammen
Muss gerade eine Serie mit Aufgaben über Gruppen bearbeiten.
Aufgabe 1:
Welche der folgenden Gruppen mit binären Verknüpfungen sind Halbgruppen oder Gruppen?
1) [mm] {x\in\IR: x>0} [/mm] mit Multiplikation
2) {-1,1} mit Multiplikation
Aufgabe 2:
Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen Sie:
1) Wenn aa=a für ein [mm] a\inG, [/mm] dann ist a=e
2) Wenn aa=e für alle [mm] a\inG, [/mm] dann ist G abelsch.
Zu Aufgabe 1:
1) Dies ist eine Gruppe, da:
G1) (a*b)*c=a*(b*c) [mm] \forall a,b,c\in \IR
[/mm]
G2) [mm] \exists e\in \IR [/mm] mit e*a=a [mm] \forall a\in \IR, [/mm] nämlich e=1
G3) [mm] \forall a\in \IR \exists a^{-1} \in \IR: a*a^{-1}=a^{-1}*a=e, [/mm] nämlich [mm] a^{-1}=\bruch{1}{a}
[/mm]
Meine Frage: Reicht das so aus?
2) Hier kann ich ja eigentlich nur G2 zeigen, so ist es also keine Halbgruppe und auch keine Gruppe
G2) [mm] \exists e\in \IR [/mm] mit e*a=a [mm] \forall a\in \IR, [/mm] nämlich e=1
Meine Frage: Stimmt das?
Zu Aufgabe 2
1&2) Hier habe ich keine Idee wie ich dies zeigen könnte! Kann mir vielleicht jemand eine Starthilfe geben?
Liebe Grüsse
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Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Muss gerade eine Serie mit Aufgaben über Gruppen
> bearbeiten.
>
> Aufgabe 1:
> Welche der folgenden Gruppen mit binären Verknüpfungen
> sind Halbgruppen oder Gruppen?
> 1) [mm]{x\in\IR: x>0}[/mm] mit Multiplikation
> 2) {-1,1} mit Multiplikation
>
> Aufgabe 2:
> Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen Sie:
> 1) Wenn aa=a für ein [mm]a\inG,[/mm] dann ist a=e
> 2) Wenn aa=e für alle [mm]a\inG,[/mm] dann ist G abelsch.
>
> Zu Aufgabe 1:
> 1) Dies ist eine Gruppe, da:
> G1) (a*b)*c=a*(b*c) [mm]\forall a,b,c\in \IR[/mm]
> G2) [mm]\exists e\in \IR[/mm]
> mit e*a=a [mm]\forall a\in \IR,[/mm] nämlich e=1
> G3) [mm]\forall a\in \IR \exists a^{-1} \in \IR: a*a^{-1}=a^{-1}*a=e,[/mm]
> nämlich [mm]a^{-1}=\bruch{1}{a}[/mm]
>
> Meine Frage: Reicht das so aus?
Ja. Du könntest ja der Vollständigkeit halber noch die Abgeschlossenheit anführen, also x,y>0 => x*y>0
Auf der anderen Seite könnte man hier auf den Nachweis der Axiome verzichten und sagen, das wird alles von der Gruppe [mm]\left( \IR \setminus \left \{ 0 \right \}\right,*)[/mm] geerbt. Aber das ist jetzt eine rein mathematische Argumentation, die viel voraussetzt, was dir eventuell noch nicht zur Verfügung steht.
>
> 2) Hier kann ich ja eigentlich nur G2 zeigen, so ist es
> also keine Halbgruppe und auch keine Gruppe
> G2) [mm]\exists e\in \IR[/mm] mit e*a=a [mm]\forall a\in \IR,[/mm] nämlich
> e=1
>
> Meine Frage: Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht. Die Menge {-1;1} ist zusammen mit der Multiplikation eine Gruppe. Untersuche das nochmal (->Gruppentafel!).
>
> Zu Aufgabe 2
> 1&2) Hier habe ich keine Idee wie ich dies zeigen könnte!
> Kann mir vielleicht jemand eine Starthilfe geben?
>
Bei 1):
Eeinfach einmal mit dem Inversen multiplizieren (warum weißt du, dass es existiert, warum ist es gleich, wie herum du multiplizierst?).
Bei 2):
Hier hätte ich zunächst die Rückfrage, ob dir der Sachverhalt
[mm] (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}
[/mm]
schon zur Verfügung steht. Falls ja, ist es ein Einzeiler, falls nein, solltest du das mal versuchen allgemein für Gruppen zu beweisen (es ist elementar).
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > Hallo zusammen
> >
> > Muss gerade eine Serie mit Aufgaben über Gruppen
> > bearbeiten.
> >c
> > Aufgabe 1:
> > Welche der folgenden Gruppen mit binären
> Verknüpfungen
> > sind Halbgruppen oder Gruppen?
> > 1) [mm]{x\in\IR: x>0}[/mm] mit Multiplikation
> > 2) {-1,1} mit Multiplikation
> >
> > Aufgabe 2:
> > Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen Sie:
> > 1) Wenn aa=a für ein [mm]a\inG,[/mm] dann ist a=e
> > 2) Wenn aa=e für alle [mm]a\inG,[/mm] dann ist G abelsch.
> >
> > Zu Aufgabe 1:
> > 1) Dies ist eine Gruppe, da:
> > G1) (a*b)*c=a*(b*c) [mm]\forall a,b,c\in \IR[/mm]
> > G2) [mm]\exists e\in \IR[/mm]
>
> > mit e*a=a [mm]\forall a\in \IR,[/mm] nämlich e=1
> > G3) [mm]\forall a\in \IR \exists a^{-1} \in \IR: a*a^{-1}=a^{-1}*a=e,[/mm]
>
> > nämlich [mm]a^{-1}=\bruch{1}{a}[/mm]
> >
> > Meine Frage: Reicht das so aus?
>
> Ja. Du könntest ja der Vollständigkeit halber noch die
> Abgeschlossenheit anführen, also x,y>0 => x*y>0
>
> Auf der anderen Seite könnte man hier auf den Nachweis der
> Axiome verzichten und sagen, das wird alles von der Gruppe
> [mm]\left( \IR \setminus \left \{ 0 \right \}\right,*)[/mm] geerbt.
> Aber das ist jetzt eine rein mathematische Argumentation,
> die viel voraussetzt, was dir eventuell noch nicht zur
> Verfügung steht.
>
> >
> > 2) Hier kann ich ja eigentlich nur G2 zeigen, so ist es
> > also keine Halbgruppe und auch keine Gruppe
> > G2) [mm]\exists e\in \IR[/mm] mit e*a=a [mm]\forall a\in \IR,[/mm]
> nämlich
> > e=1
> >
> > Meine Frage: Stimmt das?
>
> Nein, das stimmt nicht. Die Menge {-1;1} ist zusammen mit
> der Multiplikation eine Gruppe. Untersuche das nochmal
> (->Gruppentafel!).
>
Wie kann ich anhand der Gruppentafel zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt?
Zum Inversen (G3) kann ich ja sagen, dass jedes a das Inverse zu sich selbst ist.
Aber wie zeige ich G1?
> >
> > Zu Aufgabe 2
> > 1&2) Hier habe ich keine Idee wie ich dies zeigen
> könnte!
> > Kann mir vielleicht jemand eine Starthilfe geben?
> >
>
> Bei 1):
> Eeinfach einmal mit dem Inversen multiplizieren (warum
> weißt du, dass es existiert, warum ist es gleich, wie
> herum du multiplizierst?).
>
[mm] aaa^{-1}=aa^{-1} \Rightarrow [/mm] ae=e
Aber jetzt kann ich ja e eifach weg kürzen??
> Bei 2):
> Hier hätte ich zunächst die Rückfrage, ob dir der
> Sachverhalt
>
> [mm](a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/mm]
>
> schon zur Verfügung steht. Falls ja, ist es ein Einzeiler,
> falls nein, solltest du das mal versuchen allgemein für
> Gruppen zu beweisen (es ist elementar).
>
[mm] (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1} [/mm] ist mir bekannt, aber wie soll ich das nun anhand von dem zeigen?
Liebe Grüsse
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
> > Nein, das stimmt nicht. Die Menge {-1;1} ist zusammen mit
> > der Multiplikation eine Gruppe. Untersuche das nochmal
> > (->Gruppentafel!).
> >
>
> Wie kann ich anhand der Gruppentafel zeigen, dass es sich
> um eine Gruppe handelt?
> Zum Inversen (G3) kann ich ja sagen, dass jedes a das
> Inverse zu sich selbst ist.
> Aber wie zeige ich G1?
Nachrechnen? So viele mögliche Rechnungen gibt es da nicht...
Das mit den Inversen stimmt wegen 1*1=(-1)*(-1)=1.
>
>
> > >
> > > Zu Aufgabe 2
> > > 1&2) Hier habe ich keine Idee wie ich dies zeigen
> > könnte!
> > > Kann mir vielleicht jemand eine Starthilfe geben?
> > >
> >
> > Bei 1):
> > Eeinfach einmal mit dem Inversen multiplizieren (warum
> > weißt du, dass es existiert, warum ist es gleich, wie
> > herum du multiplizierst?).
> >
>
> [mm]aaa^{-1}=aa^{-1} \Rightarrow[/mm] ae=e
> Aber jetzt kann ich ja e eifach weg kürzen??
>
Zu kompliziert:
a*a=a <=>
[mm] a^{-1}*a*a=a^{-1}*a [/mm] <=>
a=e
> > Bei 2):
> > Hier hätte ich zunächst die Rückfrage, ob dir der
> > Sachverhalt
> >
> > [mm](a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/mm]
> >
> > schon zur Verfügung steht. Falls ja, ist es ein Einzeiler,
> > falls nein, solltest du das mal versuchen allgemein für
> > Gruppen zu beweisen (es ist elementar).
> >
>
> [mm](a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/mm] ist mir bekannt, aber wie soll ich
> das nun anhand von dem zeigen?
Fange mit
a*a*b*b=e
an und multipliziere
- von links mit dem Inversen von a
- von rechts mit dem Inversen von b
Dann sollte es klar sein.
PS: solche Fragen in Klammern, das kennst du sicherlich von Mathebüchern. Hier im Forum gebrauchen wir das gerne, um Denkanstöße zu geben. Wenn du jeweils darauf eingehen würdest, hätten wir ein Feedback, welches uns dabei hilft, die Antworten besser auf deine Bedürfnisse zuzuschneiden.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > > Nein, das stimmt nicht. Die Menge {-1;1} ist zusammen mit
> > > der Multiplikation eine Gruppe. Untersuche das
> nochmal
> > > (->Gruppentafel!).
> > >
> >
> > Wie kann ich anhand der Gruppentafel zeigen, dass es
> sich
> > um eine Gruppe handelt?
> > Zum Inversen (G3) kann ich ja sagen, dass jedes a das
> > Inverse zu sich selbst ist.
> > Aber wie zeige ich G1?
>
> Nachrechnen? So viele mögliche Rechnungen gibt es da
> nicht...
> Das mit den Inversen stimmt wegen 1*1=(-1)*(-1)=1.
>
> >
> >
> > > >
> > > > Zu Aufgabe 2
> > > > 1&2) Hier habe ich keine Idee wie ich dies zeigen
> > > könnte!
> > > > Kann mir vielleicht jemand eine Starthilfe geben?
> > > >
> > >
> > > Bei 1):
> > > Eeinfach einmal mit dem Inversen multiplizieren
> (warum
> > > weißt du, dass es existiert, warum ist es gleich,
> wie
> > > herum du multiplizierst?).
> > >
> >
> > [mm]aaa^{-1}=aa^{-1} \Rightarrow[/mm] ae=e
> > Aber jetzt kann ich ja e eifach weg kürzen??
> >
>
> Zu kompliziert:
>
> a*a=a <=>
>
> [mm]a^{-1}*a*a=a^{-1}*a[/mm] <=>
>
> a=e
>
Ja klar, ae=a...! :-S
> > > Bei 2):
> > > Hier hätte ich zunächst die Rückfrage, ob dir
> der
> > > Sachverhalt
> > >
> > > [mm](a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/mm]
> > >
> > > schon zur Verfügung steht. Falls ja, ist es ein
> Einzeiler,
> > > falls nein, solltest du das mal versuchen allgemein
> für
> > > Gruppen zu beweisen (es ist elementar).
> > >
> >
> > [mm](a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/mm] ist mir bekannt, aber wie soll
> ich
> > das nun anhand von dem zeigen?
>
> Fange mit
>
> a*a*b*b=e
>
> an und multipliziere
>
> - von links mit dem Inversen von a
> - von rechts mit dem Inversen von b
>
> Dann sollte es klar sein.
>
Also ich habe jetzt folgendes:
a*a*b*b=e [mm] \gdw
[/mm]
[mm] a^{-1}*a*a*b*b*b^{-1}=a^{-1}*e*b^{-1} \gdw
[/mm]
[mm] e*a*b*e=a^{-1}*e*b^{-1} \gdw
[/mm]
[mm] a*b=a^{-1}*b^{-1} \gdw
[/mm]
[mm] a*b=(b*a)^{-1}
[/mm]
Aber sollte ja ab Schluss a*b=b*a rausbekommen....
> PS: solche Fragen in Klammern, das kennst du sicherlich von
> Mathebüchern. Hier im Forum gebrauchen wir das gerne, um
> Denkanstöße zu geben. Wenn du jeweils darauf eingehen
> würdest, hätten wir ein Feedback, welches uns dabei
> hilft, die Antworten besser auf deine Bedürfnisse
> zuzuschneiden.
>
Ok, gebe mir das nächste mal Mühe auf diese Fragen einzugehen.
Liebe Grüsse
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 09.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Babybel73,
bei 1 b) fehlt noch der Nachweis (oder zumindest Hinweis darauf), dass die gewöhnliche Multiplikation reeller Zahlen überhaupt eine Verknüpfung auf [mm] $\{-1,1\}$ [/mm] induziert, also [mm] $a*b\in\{-1,1\}$ [/mm] für alle [mm] $a,b\in\{-1,1\}$ [/mm] gilt.
Ein Untersuchen der Assoziativität per Fallunterscheidung ist nicht nötig: $(a*b)*c=a*(b*c)$ gilt ja (solange $*$ die gewöhnliche Multiplikation bezeichnet) für alle [mm] $a,b,c\in\IR$, [/mm] also insbesondere für alle [mm] $a,b,c\in\{-1,1\}$.
[/mm]
> Also ich habe jetzt folgendes:
> a*a*b*b=e [mm]\gdw[/mm]
> [mm]a^{-1}*a*a*b*b*b^{-1}=a^{-1}*e*b^{-1} \gdw[/mm]
>
> [mm]e*a*b*e=a^{-1}*e*b^{-1} \gdw[/mm]
> [mm]a*b=a^{-1}*b^{-1} \gdw[/mm]
>
> [mm]a*b=(b*a)^{-1}[/mm]
> Aber sollte ja ab Schluss a*b=b*a rausbekommen....
Nun multipliziere deine letzte Gleichung mit [mm] $\underbrace{(b*a)*(b*a)}_{=e}$ [/mm] von rechts oder links.
Man kann das Nachrechnen von $a*b=b*a$ tatsächlich ganz ohne Betrachtung von Inversen in einer Zeile notieren. Allerdings ist es nicht ganz so einfach, diese Zeile zu finden...
Seien [mm] $a,b\in [/mm] G$ beliebig vorgegeben. Dann gilt
[mm] $a*b=a*e*b=a*a*b*a*b*b=\ldots$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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