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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Fr 11.02.2011 | | Autor: | sanane |
Also bei folgender aufgabe weiß ich überhaupt nicht weiter -.-
Sei G={(x,y) [mm] \in [/mm] ( [mm] \IR)^2 [/mm] | [mm] \alpha [/mm] x+y=1 } und sei [mm] \circ: [/mm] GxG -> ( [mm] \IR)^2
[/mm]
durch (x1,y1) [mm] \circ [/mm] (x2,y2) = (x1+x2-(1/ [mm] \alpha) [/mm] , y1+y2) für (x1,y1),(x2,y2) [mm] \in [/mm] G bei gegebenem [mm] \alpha \in \IR [/mm] \ {0} definiert.
Zeigen Sie, dass (G, [mm] \circ [/mm] , ((1/ [mm] \alpha) [/mm] , 0) eine abelsche Gruppe ist.
Normalerweise schreibt man ja (G, [mm] \circ, [/mm] e) kann ich daraus schließen dass (1/ [mm] \alpha [/mm] , 0) mein neutrales element ist ? oder spack ich gerade richtig ab -.-
G1 Abgeschlossenheit:
In der Aufgabenstellung steht ja schon dass (x1,y1), (x2,y2) [mm] \in [/mm] G ist bei gegebenem [mm] \alpha \in \IR [/mm] \ {0}.
würde das ausreichen?
G2: Assoziativität:
(x3,y3) [mm] \in [/mm] G
((x1,y1) [mm] \circ [/mm] (x2,y2)) [mm] \circ [/mm] (x3,y3) = (x1,y1) [mm] \circ [/mm] ((x2,y2) [mm] \circ [/mm] (x3,y3))
((x1x2) [mm] \circ [/mm] (y1y2)) [mm] \circ [/mm] (x3y3) = (x1,y1) [mm] \circ [/mm] ((x2x3) [mm] \circ [/mm] (y2y3))
((x1x2)x3, (y1y2)y3)= (x1(x2x3), y1(y2y3))
wäre das so richtig ? :/
G3) neutrales Element:
(x2,y2) [mm] \circ [/mm] (x1,y1) = (x1,y1)
-> (x2x1, y2y1)=(x1,y1)
x2x1=x1 -> wenn x2=1
y2y1=y1 -> wenn y2=1
wieder einsetzen :
(1,1) [mm] \circ [/mm] (x1,y1) = (1,1)
wäre das so richtig ? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Fr 11.02.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo sanane
> Sei G={(x,y) [mm]\in[/mm] ( [mm]\IR)^2[/mm] | [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x+y=1 } und sei [mm]\circ:[/mm]
> GxG -> ( [mm]\IR)^2[/mm]
>
> durch (x1,y1) [mm]\circ[/mm] (x2,y2) = (x1+x2-(1/ [mm]\alpha)[/mm] , y1+y2)
> für (x1,y1),(x2,y2) [mm]\in[/mm] G bei gegebenem [mm]\alpha \in \IR[/mm] \
> {0} definiert.
>
> Zeigen Sie, dass (G, [mm]\circ[/mm] , ((1/ [mm]\alpha)[/mm] , 0) eine
> abelsche Gruppe ist.
>
> Normalerweise schreibt man ja (G,[mm]\circ,[/mm] e) kann ich daraus
> schließen dass (1/ [mm]\alpha[/mm] , 0) mein neutrales element ist
> ? oder spack ich gerade richtig ab -.-
Du kannst das schließen, es hilft dir also, weil du es nicht mehr suchen musst, aber du musst wohl zeigen, dass es dei eigenschaft e hat.
> G1 Abgeschlossenheit:
>
> In der Aufgabenstellung steht ja schon dass (x1,y1),
> (x2,y2) [mm]\in[/mm] G ist bei gegebenem [mm]\alpha \in \IR[/mm] \ {0}.
>
> würde das ausreichen?
nein, du musst doch zeigen dass mit (x1,y1), (x2,y2) auch
[mm] (x1,y1)$\circ,$(x2,y2) [/mm] ein Element ist
> G2: Assoziativität:
>
> (x3,y3) [mm]\in[/mm] G
>
> ((x1,y1) [mm]\circ[/mm] (x2,y2)) [mm]\circ[/mm] (x3,y3) = (x1,y1) [mm]\circ[/mm]
> ((x2,y2) [mm]\circ[/mm] (x3,y3))
> ((x1x2) [mm]\circ[/mm] (y1y2)) [mm]\circ[/mm] (x3y3) = (x1,y1) [mm]\circ[/mm] ((x2x3)
> [mm]\circ[/mm] (y2y3))
> ((x1x2)x3, (y1y2)y3)= (x1(x2x3), y1(y2y3))
>
> wäre das so richtig ? :/
nein, du musst doch die Def. der Verknüpfung benutzen!
>
> G3) neutrales Element:
>
> (x2,y2) [mm]\circ[/mm] (x1,y1) = (x1,y1)
>
> -> (x2x1, y2y1)=(x1,y1)
>
> x2x1=x1 -> wenn x2=1
>
> y2y1=y1 -> wenn y2=1
>
> wieder einsetzen :
>
> (1,1) [mm]\circ[/mm] (x1,y1) = (1,1)
>
> wäre das so richtig ? :(
auch hier hast du die Def. der verknüpfung nicht benutzt, sondern eine andere , dadurch auch das falsche neutrale Element gefunden!
du wusstest am anfang schon, was e war und solltest es dort machweisen.
irgendwie hast du nicht verstanden, dass das [mm] $\circ,$ [/mm] hier durch
(x1,y1) [mm] $\circ$ [/mm] (x2,y2) = (x1+x2-(1/ [mm] $\alpha)$ [/mm] , y1+y2) gdefniert ist und NICHT durch (x1,y1) [mm] $\circ$ [/mm] (x2,y2)=(x1x2,y1y2)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 12.02.2011 | | Autor: | sanane |
zu G1:
wie zeige ich das ?
nein, du musst doch zeigen dass mit (x1,y1), (x2,y2) auch
(x1,y1)$ [mm] \circ, [/mm] $(x2,y2) ein Element ist ..
G2) also ich habe es nochmal bearbeitet:
((x1,y1) [mm] \circ [/mm] (x2,y2)) [mm] \circ [/mm] (x3,y3) = (x1,y1) [mm] \circ [/mm] ((x2,y2) [mm] \circ [/mm] (x3,y3))
(x1+x2-(1/ [mm] \alpha) [/mm] , y1+y2) [mm] \circ [/mm] (x3,y3) =
(x1,y1) [mm] \circ [/mm] (x2+x3-(1/ [mm] \alpha), [/mm] y2+y3)=
((x1+x2-(1/ [mm] \alpha)) [/mm] +x3, (y1+y2)+y3) =
(x1+(x2+x3-(1/ [mm] \alpha) [/mm] , y1 +(y2+y3))
somit erfüllt .. stimmt das jetzt ? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Sa 12.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo sana
> zu G1:
>
> wie zeige ich das ?
>
> nein, du musst doch zeigen dass mit (x1,y1), (x2,y2) auch
> (x1,y1)[mm] \circ, [/mm](x2,y2) ein Element ist ..
Du zeigst dass die Verknüpfung wieder die Eigenschaft $ [mm] \alpha [/mm] $ x+y=1 hat!
>
> G2) also ich habe es nochmal bearbeitet:
>
>
> ((x1,y1) [mm]\circ[/mm] (x2,y2)) [mm]\circ[/mm] (x3,y3) = (x1,y1) [mm]\circ[/mm]
> ((x2,y2) [mm]\circ[/mm] (x3,y3))
>
> (x1+x2-(1/ [mm]\alpha)[/mm] , y1+y2) [mm]\circ[/mm] (x3,y3) =
>
> (x1,y1) [mm]\circ[/mm] (x2+x3-(1/ [mm]\alpha),[/mm] y2+y3)=
>
> ((x1+x2-(1/ [mm]\alpha))[/mm] +x3, (y1+y2)+y3) =
>
> (x1+(x2+x3-(1/ [mm]\alpha)[/mm] , y1 +(y2+y3))
>
> somit erfüllt .. stimmt das jetzt ? :/
ich kann das nicht auseinanderkriegen, wo du was rechnest.
die Behauptung ist:
((x1,y1) [mm] $\circ$ [/mm] (x2,y2)) [mm] $\circ$ [/mm] (x3,y3) = (x1,y1) [mm] $\circ$ [/mm] ((x2,y2) [mm] $\circ$ [/mm] (x3,y3))
jetzt musst du erstmal die linke Seite ausrechnen und zwar bis zum ende, dann die rechte.
also
((x1,y1) [mm] $\circ$ [/mm] (x2,y2)) [mm] $\circ$ [/mm] (x3,y3) = [mm] (x1+x2-1/\alpha,y1+y2)\circ (x3,y3)=(x1+x2-1/\alpha+x3-1/\alpha [/mm] , [mm] y1+y2+y3)=(x1+x2+x3-2/\alpha,y1+y2+y3)
[/mm]
das seh ich bei dir nirgends.
jetzt den rechten Teil ausrechnen und dann fesstellen ob sie gleich sind,
Wenn du gleich am anfang das = hinschreibst, tust du ja so, als ob die Beh. schon gezeigt wäre.
ausserdem hast du die verknüpfung falsch.
dann noch zeigen was e ist, bzw, dass die Annahme stimmt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 12.02.2011 | | Autor: | sanane |
Du zeigst dass die Verknüpfung wieder die Eigenschaft $ [mm] \alpha [/mm] $ x+y=1 hat
:/ .. da liegt ja mein problemmm.. wie dennnN ? :(
so ich habe versucht die rechte seite umzuformen:
(x1,y1) [mm] \circ [/mm] (x2+x3-(1/ [mm] \alpha), [/mm] y2+y3)
= (x1-(1/ [mm] \alpha)+ [/mm] x2+x3- (1/ [mm] \alpha), [/mm] y1+y2+y3)
= ( x1+x2+x3-(2/ [mm] \alpha) [/mm] , y1+y2+y3)
somit sind sie gleich...so richtig ? ich versteh aber nicht warum plötzlich noch ein weiterer 1/ [mm] \alpha [/mm] dazukommt.. wenn wir quasi "ausmultiplizieren"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 12.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum noch ein 1/alpha dazukommt?
nenne in (x2+x3-(1/ $ [mm] \alpha), [/mm] $ y2+y3) x2+x3-(1/ $ [mm] \alpha)=z1 [/mm] und y2+y3=z2
dabb bilde [mm] (x1,y1)\circ [/mm] (z1,z2) (am schluss wieder fr z1 und z2 einsetzen) siehst du dann warum)
ebenso gehst du mit [mm] (x1,y1)\circ [/mm] (x2,y2)=(z1,z2) vor
rechne einfach aus was [mm] \alpa*z1+z2 [/mm] ergibt, wenn du weisst, dass /alpha*x1+y1=1 und /alpha*x2+y2=1
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 12.02.2011 | | Autor: | sanane |
wird erledigt..
und wie zeige ich das neutrale element ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast es doch, setz es ein und weis nach dass [mm] e\circ(x,y)=x,y) [/mm] aber genau das hab ich doch schon im 1. oder 2 ten post gesagt. Bitte guck die posts wirklich an, schreib auch mal was auf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 13.02.2011 | | Autor: | sanane |
oki starten wir einen erneuten versuch:
G3) neutrales Element:
(x2,y2) [mm] \circ [/mm] (x1,y1) = (x1,y1)
(x2+x1-(1/ [mm] \alpha, [/mm] y2+y1) = (x1,y1)
1. x2+x1-(1/ [mm] \alpha)= [/mm] x1 -> x2=1 , [mm] \alpha=1
[/mm]
2. y2+y1=y1 -> y2=0
somit erfüllt
g4) inverses Element:
(x1´,y1´) [mm] \circ [/mm] (x1,y1) = (1,0)
(x1´+x1-(1/ [mm] \alpha), [/mm] y1´+y1)=(1,0)
1. x1´+x1-(1/ [mm] \alpha)=1
[/mm]
x1´= 1-x1+(1/ [mm] \alpha)
[/mm]
2. y1´+y1=0 -> y1´=-y1
bitte sag das ich alles richtig gemacht habe :( ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> oki starten wir einen erneuten versuch:
>
> G3) neutrales Element:
>
> (x2,y2) [mm]\circ[/mm] (x1,y1) = (x1,y1)
>
> (x2+x1-(1/ [mm]\alpha,[/mm] y2+y1) = (x1,y1)
>
> 1. x2+x1-(1/ [mm]\alpha)=[/mm] x1 -> x2=1 , [mm]\alpha=1[/mm]
du kannst doch alpha nicht geben, die gruppe ist durch ein vorgegebenes [mm] \alpha\ne0 [/mm] vorgegeben
warum liest du nicht, was ich sag, das neutrale element hast du schon im ersten post genannt!
>
> 2. y2+y1=y1 -> y2=0
>
> somit erfüllt
>
> g4) inverses Element:
>
> (x1´,y1´) [mm]\circ[/mm] (x1,y1) = (1,0)
>
> (x1´+x1-(1/ [mm]\alpha),[/mm] y1´+y1)=(1,0)
wegen des Fehlers in 2. ist das folgende falsch , aber dein Vorgehen richtig.
> 1. x1´+x1-(1/ [mm]\alpha)=1[/mm]
>
> x1´= 1-x1+(1/ [mm]\alpha)[/mm]
> 2. y1´+y1=0 -> y1´=-y1
richtig
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 13.02.2011 | | Autor: | sanane |
du hast wirklich recht.. ich muss die aufgaben genauer lesen:
jetzt aber:
g3)
( 1/ [mm] \alpha [/mm] , 0) [mm] \circ [/mm] ( x1,x2= (x1,x2)
(1/ [mm] \alpha [/mm] +x1 - 1 / [mm] \alpha [/mm] , 0+x2)= (x1,x2)
somit ist ( 1/ [mm] \alpha [/mm] , 0 ) das neutrale element.
g4)
(x1´,y1´) [mm] \circ (x^1, [/mm] y1) = ( 1/ [mm] \alpha [/mm] ,0)
x1´=2/ [mm] \alpha [/mm] -x1
y1´= -y1
g5) kommutativ:
(x1,y1) [mm] \circ [/mm] (x2,y2) = (x2,y2) [mm] \circ [/mm] (x1,y1)
(x1+x2- (1 / [mm] \alpha), [/mm] y1+y2) = (x2+x1- 1 / [mm] \alpha [/mm] , y2+y1)
so weit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo sanane
ja endlich richtig! bei g4 noch einen oder 2 Zwischenschritte aufschreiben
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 13.02.2011 | | Autor: | sanane |
könnte das jemand korrigieren ? bitteee
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