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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Elli1501 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe und g [mm] \in [/mm] G ein beliebiges Element der Gruppe. Auf der Menge G sei eine Operation [mm] \Box [/mm] durch x [mm] \Box [/mm] y = x [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] y definiert. Man zeige:
a) [mm] (G,\Box) [/mm] ist eine Gruppe
b) [mm] (G,\Box) [/mm] und [mm] (G,\circ) [/mm] sind isomorph |
ok
also bei müssen die gruppenaxiome bewiesen werden, alles klar. aber ich weiß nicht, in welcher "Form" ich das machen muss.
Bei b) fehlt mir irgendwie nur eine Erläuterung zur Definition des Isomorphismus´:
=eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche Teile einer anderen Struktur bijektiv abgebildet werden.
hoffe mir kann da jemand eine Hilfe geben!Danke schonmal!
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> Es sei [mm](G,\circ)[/mm] eine Gruppe und g [mm]\in[/mm] G ein beliebiges
> Element der Gruppe. Auf der Menge G sei eine Operation [mm]\Box[/mm]
> durch x [mm]\Box[/mm] y = x [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] y definiert. Man zeige:
>
> a) [mm](G,\Box)[/mm] ist eine Gruppe
> b) [mm](G,\Box)[/mm] und [mm](G,\circ)[/mm] sind isomorph
> ok
>
> also bei müssen die gruppenaxiome bewiesen werden, alles
> klar. aber ich weiß nicht, in welcher "Form" ich das machen
> muss.
Hallo,
streng nach Vorschrift.
Zunächst mal mußt Du Dich vergewissern, ob die frisch definierte Verknüpfung [mm] \Box [/mm] Dich nicht aus der Menge herausführt, ob es sich also um eine innere Verknüpfung handelt.
Das geht so:
seine x,y [mm] \in [/mm] G es ist x [mm] \Box [/mm] y=x [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] y [mm] \in [/mm] G, denn [mm] (G,\circ) [/mm] ist eine Gruppe.
Auch beim Beweis der eigentlcihen Axiome wirst Du Dich oft auf Eigenschaften v. [mm] (G,\circ) [/mm] berufen müssen.
>
> Bei b) fehlt mir irgendwie nur eine Erläuterung zur
> Definition des Isomorphismus´:
> =eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen,
> durch die Teile einer Struktur auf bedeutungsgleiche
> Teile einer anderen Struktur bijektiv abgebildet werden.
Ist das die Def. aus Deiner Vorlesung???
Du mußt zeigen, daß es eine bijektive Abb. [mm] \varphi: G\to [/mm] G gibt mit [mm] \varphi (a\Box b)=\varphi (a)\circ \varphi [/mm] (b) f.a.a,b [mm] \in [/mm] G.
Also ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
Gruß v. Angela
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