Gruppe zyklisch Teil 2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:39 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Ein späten guten Abend!
Nachdem ich nun das Kapitel über zyklische Gruppen im Buch nachgearbeitet habe und bis jetzt dachte, dass ich einigermaßen den Überblick habe, musste ich leider bei der Betrachtung eines Satzes ( mal wieder ohne Beweis ) enttäuschend feststellen, dass dies leider noch nicht der Fall ist :-( ....Leider finde ich keine Literatur in der ich diese Sachverhalt nacharbeiten kann..
Ich hoffe, dass mir jemand diesen Satz erläutern kann!
Satz :
Sei A eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.
1. A ist isomorph zu einem direkten Produkt von zyklischen Gruppen
[mm] A \tilde { \rightarrow } \mathbb Z / n_1 \mathbbZ \times \mathbb Z / n_2 \mathbbZ \times ... \times \mathbb Z / n_r \mathbbZ \times \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z [/mm]
(die letzten Z insgesamt r mal )
[ Frage: Warum gilt das ? ]
2. [mm] r = r(A) [ [mm] \mm] [/mm] ist eindeutig bestimmt und heißt der Rang von A
[ Frage: Wie kann ich mir den vorstellen? Ich kenne den Begriff Rang nur im Zusammnehang mit Matrizen und nicht mit Gruppen ... ]
3. Es gibt Primzahlen [mm] p_1, ..., p_n [/mm] und Zahlen [mm] r_1, ..., r_n [/mm] und Zahlen [mm] m_{i,j} [/mm]
[mm] ( i=1,...,n , j= 1,...,r_i ) [/mm], so dass es einen Isomorphismus
[mm] A \tilde { \rightarrow } ( \mathbb Z / p_{1}^{m_{1,1} } \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z / p_{1}^{m_{1,r_1 } } \mathbb Z ) \times ... \times ( \mathbb Z / p_{n}^{m_{n,1} } \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z / p_{n}^{m_{n,r_n } } \mathbb Z ) \times \mathbb Z^{r(A)} [/mm]
gibt.
Diese Zerlegung ist bis auf das Vertauschen der [mm] p_i [/mm] eindeutig.
[Frage: Muss ich diesen Isomorphismus wirklich verstehen ? Oder kann ich einfach hinnehmen, dass es den gibt?
4. r(A) = 0 ist äquivalent zu [mm] | A | < \infty [/mm]
[ Frage: Ich denke das A endlich ist...Also die Anzahl der Elemente immer kleiner unendlich ist... Bedeutet dass, dass hier der Rang immer Null ist? Oder ist mit den Betragsstrichen nicht die Ordnung der Gruppe gemeint? ]
5. Sei [mm] A < \infty [/mm], dann sind äquivalent:
a) A ist zyklisch
b) [mm] A \cong \mathbb Z / |A| \cdot \mathbb Z [/mm]
c) [mm] r_i = 1 , i = 1, ... , n [/mm]
Könnte mir jemand diese Äquivalent erläutern? Gilt denn [mm] a \Rightarrow b) [/mm] deswegen, weil eine Zyklische Gruppe isomorph zu jeder Untergruppe von [mm] \mathbb Z [/mm] ist, da diese auch isomorph sind???
Ich danke schonmal ganz herzlich im voraus!!!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Fr 10.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Eins mal vorweg, ich hab selber keine Ahnung von den Sachen, aber ich hab ne Weile rumgeguckt weil ich es interessant finde, vielleicht nützt es dir ja was.
> Satz :
> Sei A eine endlich erzeugte kommutative Gruppe.
>
> 1. A ist isomorph zu einem direkten Produkt von zyklischen
> Gruppen
> [mm]A \tilde { \rightarrow } \mathbb Z / n_1 \mathbbZ \times \mathbb Z / n_2 \mathbbZ \times ... \times \mathbb Z / n_r \mathbbZ \times \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z[/mm]
> (die letzten Z insgesamt r mal )
>
> [ Frage: Warum gilt das ? ]
Das ist die erste Variante des ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatzes für endlich erzeugt abelsche Gruppen. Der Beweis ist nicht trivial, müsste sich aber ohne größere Probleme in einschlägiger Literatur zur Gruppentheorie finden lassen.
> 2. [mm]r = r(A) [ [mm]\mm][/mm] ist eindeutig bestimmt und heißt der Rang von A
> [ Frage: Wie kann ich mir den vorstellen? Ich kenne den Begriff Rang nur im Zusammnehang mit Matrizen und nicht mit Gruppen ... ]
Guckst du hier.
> 3. Es gibt Primzahlen [mm]p_1, ..., p_n[/mm] und Zahlen [mm]r_1, ..., r_n[/mm] und Zahlen [mm]m_{i,j}[/mm] [mm]( i=1,...,n , j= 1,...,r_i ) [/mm], so dass es einen Isomorphismus [mm]A \tilde { \rightarrow } ( \mathbb Z / p_{1}^{m_{1,1} } \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z / p_{1}^{m_{1,r_1 } } \mathbb Z ) \times ... \times ( \mathbb Z / p_{n}^{m_{n,1} } \mathbb Z \times ... \times \mathbb Z / p_{n}^{m_{n,r_n } } \mathbb Z ) \times \mathbb Z^{r(A)}[/mm] gibt. Diese Zerlegung ist bis auf das Vertauschen der [mm]p_i[/mm] eindeutig.
> [Frage: Muss ich diesen Isomorphismus wirklich verstehen ? Oder kann ich einfach hinnehmen, dass es den gibt? ]
Das ist die zweite Variante des Hauptsatzes und äquivalent zur ersten. Ich denke das sollte man schon verstehen, Felix hat dazu auch hier was geschrieben.
> 4. r(A) = 0 ist äquivalent zu [mm]| A | < \infty[/mm]
> [ Frage: Ich denke das A endlich ist...Also die Anzahl der Elemente immer kleiner unendlich ist... Bedeutet dass, dass hier der Rang immer Null ist? Oder ist mit den Betragsstrichen nicht die Ordnung der Gruppe gemeint? ]
$A$ ist endlich-erzeut, das ist ein großer Unterschied. $|A|$ ist tatsächlich einfach die Ordnung von $A$.
> 5. Sei [mm]A < \infty [/mm], dann sind äquivalent:
> a) A ist zyklisch
> b) [mm]A \cong \mathbb Z / |A| \cdot \mathbb Z[/mm]
> c) [mm]r_i = 1 , i = 1, ... , n[/mm]
> Gilt denn [mm]a \Rightarrow b)[/mm] deswegen, weil eine Zyklische Gruppe isomorph zu jeder Untergruppe von [mm]\mathbb Z[/mm] ist, da > diese auch isomorph sind???
Ja genau, das ist dasselbe wie in deiner letzten Frage zu zyklischen Gruppen. Beachte, dass das nur für endliche Gruppen gilt!
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Robert!
Ich habe jetzt dank Dir Literaut gefunden, die ich nun nacharbeiten werde. Hoffe, dann alles zu verstehen!
Vielen Dank!
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