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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Di 02.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es seien [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe und x [mm] \in [/mm] G. Das (eindeutig bestimmte) inverse Element von x sei y und das (ebenfalls eindeutig bestimmte) inverse Element von y sei mit z bezeichnet. Zeigen Sie z=x. |
Hallo,
genügt es, den Beweis über das neutrale Element zu führen? Folgender Beweis:
x [mm] \circ [/mm] y = y [mm] \circ [/mm] x = n (n ist das neutrale Element)
y [mm] \circ [/mm] z = z [mm] \circ [/mm] y = n
Daraus ergibt sich:
x [mm] \circ [/mm] y = y [mm] \circ [/mm] x = n = y [mm] \circ [/mm] z = z [mm] \circ [/mm] y , also
x [mm] \circ [/mm] y = z [mm] \circ [/mm] y und somit x=z
Reicht das aus?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Di 02.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
bei Beweisen stellt sich natürlich immer die Frage: Wie ausführlich muss es sein? Beweise in Zeitschriftenaufsätzen, die sich an Forscher richten, sind naturgemäß weniger ausführlich als Beweise in Lehrbüchern für Studenten.
Die Aufgabe hier liegt auf einem sehr niedrigen Anspruchsniveau (Einstieg in Gruppentheorie), also sollte ein Beweis entsprechend ausführlich sein. Dann reichen deine Ausführungen nicht aus.
Zu Anfang möchte ich noch kurz anmerken: Wenn in der Aufgabenstellung tatsächlich angegeben ist, daß das inverse Element zu einem $x [mm] \in [/mm] G$ eindeutig bestimmt ist, dann gibt es gar nichts mehr zu beweisen. Denn das ist ja eigentlich die Aussage, die hier zu zeigen ist. Ich würde hier als Voraussetzungen nur die Gruppenaxiome
1. Assoziativgesetz
2. Existenz eines neutralen Elementes n mit a * n = n * a = a für alle $a [mm] \in [/mm] G$
3. Existenz eines inversen Elementes $b [mm] \in [/mm] G$ zu jedem $a [mm] \in [/mm] G$, so daß a * b = n ist
sowie
x * y = n
y * z = n
annehmen.
Zunächst wollen wir zeigen:
a * b = n <==> b * a = n
Dazu betrachten wir die Gleichung a * b = n und multiplizieren beide Seiten von rechts mit dem (nach 3. existierenden) inversen von b, das wir c nennen:
Dann gilt
a * b = n ==> (a * b) * c = n * c ==> a * (b * c) = n * c ==> a * n = n * c ==> a = c.
Damit ist das inverse von b auch gleich a und es folgt b * a = n.
Umgekehrt geht das natürlich ganz genau so.
Nun kannst du deine Aufgabe zeigen:
x * y = y * x = n = y * z = z * y
Also
x * y = z * y | * z (Eindeutigkeit der Gruppenoperation)
(x * y) * z = (z * y) * z | Assoziativgesetz
x * (y * z) = z * (y * z) |wg. inv. Element.
x * n = z * n | wg. neutr.
x = z
Das sieht sicher zu ausführlich aus, aber nur so macht die Aufgabe Sinn.
Geht man von stärkeren Voraussetzungen aus, ist sie sofort trivial!
...und nun einen guten Morgen!
Gruß, Will
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