Gruppe und Verknüpfung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 29.10.2005 | | Autor: | nebben |
T ist eine endliche Menge {0,1,2,3} mit der Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] auf T mit
x [mm] \oplus [/mm] y [mm] =\begin{cases} x+y, & \mbox{wenn } x+y \le 3 \\x+y-4& \mbox{wenn } x+y > 3 \end{cases}
[/mm]
Zu zeigen: T ist eine Gruppe
In einer Gruppe gilt:
1)Assoziativität
2)Es gibt ein neutrales Element: xe=ex=x
3)Es gibt ein inverses Element: [mm] x^{-1}x [/mm] = [mm] xx^{ -1}=1
[/mm]
4)Wenn Kommutativität: xy = yx = abelsche Gruppe
Wie fängt man da bitte an die Gruppenregeln zu überprüfen?
gruß nebben
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> T ist eine endliche Menge {0,1,2,3} mit der Verknüpfung
> [mm]\oplus[/mm] auf T mit
>
>
> x [mm]\oplus[/mm] y [mm]=\begin{cases} x+y, & \mbox{wenn } x+y \le 3 \\x+y-4& \mbox{wenn } x+y > 3 \end{cases}[/mm]
>
> Zu zeigen: T ist eine Gruppe
>
> In einer Gruppe gilt:
> 1)Assoziativität
> 2)Es gibt ein neutrales Element: xe=ex=x
> 3)Es gibt ein inverses Element: [mm]x^{-1}x[/mm] = [mm]xx^{ -1}=1[/mm]
>
> 4)Wenn Kommutativität: xy = yx = abelsche Gruppe
>
> Wie fängt man da bitte an die Gruppenregeln zu überprüfen?
Hallo,
da Deine Gruppe extrem Übersichtlich ist, kannst Du eine Verknüpfungstafel an legen, aus welcher Du 2), 3), und 4) direkt ablesen kannst.
Für die Prüfung auf "assoziativ" wirst Du um Fallunterscheidungen nicht drumherum kommen, es sei denn, Du entscheidest Dich, alle 64 möglichen Fälle einzeln zu rechen.
Achso: natürlich mußt Du überall da, wo in Deinen Unterlagen bei den Gesetzen * steht oder gemeint ist, Deine Verknüpfung [mm]\oplus[/mm] einsetzen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 29.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Danke für deine Antwort. Jetzt weiss ich ungefähr was zu tun ist. Ich muss aber fast alles nachfragen.
1) Prüfung der Assoziativität:
1.Fall: x+y [mm] \le [/mm] 3
Wie prüft man bitte 1) bei x+y ?
2.Fall: x+y-4 > 3
(x+y)-4 = x+(y-4) = x+y-4
gruß nebben
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> 1) Prüfung der Assoziativität:
>
> 1.Fall: x+y [mm]\le[/mm] 3
> Wie prüft man bitte 1) bei x+y ?
Das dürfte schwerlich gelingen.
Guck Dir doch mal das Assoziativgesetz an!!!
Es handelt davon, wie man drei Elemente addiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela,
Ist die Assoziativität wie ich sie gezeigt habe genug gezeigt?
gruß nebben
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> Hallo Angela,
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> Ist die Assoziativität wie ich sie gezeigt habe genug
> gezeigt?
Ich habe noch nicht entdeckt,
DASS Du sie gezeigt hast, von "genug gezeigt" also keine Spur.
Allerdings - das ganze hier wird etwas unübersichtlich, vielleicht ist mir etwas entgangen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Ich habe nur gezeigt dass:
1.Fall: x+y $ [mm] \le [/mm] $ 3
x+y ist assoziativ
2.Fall: x+y-4 > 3
(x+y)-4 = x+(y-4) = x+y-4
x+y-4 ist auch assoziativ
Deshalb ist T assoziativ.
Das ist wohl nicht genug. Wie sollte man die Assoziativität hier zeigen ohne die Tabelle zu verwenden?
gruß nebben
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Was sagt das Assoziativgesetz?
Es sagt: Für alle x,y,z ist (x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z= x [mm] \oplus(y \oplus [/mm] z)
Nun hat man ja für [mm] \oplus [/mm] diese Fallunterscheidungen.
Was kann vorkommen?
1. x+y [mm] \le [/mm] 3 und (x+y)+z [mm] \le [/mm] 3
2. x+y [mm] \le [/mm] 3 und (x+y)+z > 3
3. x+y > 3 und (x+y)+z [mm] \le [/mm] 3
4. x+y > 3 und (x+y)+z > 3
Für diese vier Fälle ist die Gültigkeit von (x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z= x [mm] \oplus(y \oplus [/mm] z) zu zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Danke Angela für deine Fallunterscheidung. Die leuchten mir jetzt ein.
Ich muss dich fragen:
Wie zeigt man die Gültigkeit von (x [mm]\oplus[/mm] y)
[mm]\oplus[/mm] z= x [mm]\oplus(y \oplus[/mm] z) bitte im 1.Fall?
> 1. x+y [mm]\le[/mm] 3 und (x+y)+z [mm]\le[/mm] 3
Kann mann Assoziativität auch mit einer Tabelle zeigen.
a.)wenn x [mm] \le [/mm] 3
b.)wenn x > 3
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weil die letzten beiden spalten gleich sind gilt die Assoziativität.
Andere Fälle gibt es doch gar nicht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Danke Angela für deine Fallunterscheidung. Die leuchten mir
> jetzt ein.
>
> Ich muss dich fragen:
>
> Wie zeigt man die Gültigkeit von (x [mm]\oplus[/mm] y)
> [mm]\oplus[/mm] z= x [mm]\oplus(y \oplus[/mm] z) bitte im 1.Fall?
>
> > 1. x+y [mm]\le[/mm] 3 und (x+y)+z [mm]\le[/mm] 3
So:
In diesem Fall ist (x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z= (x+y)+z =x+(y+z)= x [mm] \oplus [/mm] (y [mm] \oplus [/mm] z)
Gruß v. Angela
Wie schonmal erwähnt, bei Assoziativität hast du drei beliebige Elemente, von daher ist mir der Nährwert Deiner Tabelle schleierhaft.
>
>
>
> Kann mann Assoziativität auch mit einer Tabelle zeigen.
>
> a.)wenn x [mm]\le[/mm] 3
> b.)wenn x > 3
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Weil die letzten beiden spalten gleich sind gilt die
> Assoziativität.
>
> Andere Fälle gibt es doch gar nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Sa 29.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Die Verknüpfungstafel sollte diese hier sein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
=>2.) 0 ist das neutrale Element
weil:
0+0=0
1+0=1
2+0=2
3+0=3
=>3.) 1 ist das inverse Element
weil:
1+0=1=0+1
3+2=1=2+3
=> 4.) Es handelt sich um eine abelsche Gruppe
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo
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> Die Verknüpfungstafel sollte diese hier sein:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> =>2.) 0 ist das neutrale Element
>
> weil:
> 0+0=0
> 1+0=1
> 2+0=2
> 3+0=3
Richtig.
>
> =>3.) 1 ist das inverse Element
>
> weil:
> 1+0=1=0+1
> 3+2=1=2+3
Das stimmt nicht. Du mußt zeigen, daß jedes Element ein Inverses hat, daß es also zu jeden x ein x' gibt, so daß x+x'=0.
Z.B. ist 3 das inverse Element zu 1.
>
> => 4.) Es handelt sich um eine abelsche Gruppe
Das stimmt, Du solltest es aber noch kurz begründen.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela
Danke für deinen Hinweis.
Aus x+ x' = 0 folgt das inverse Element für :
0 ist es 0
1 ist es 3
2 ist es 2
3 ist es 1
4.) Es handelt sich um eine abelsche Gruppe:
weil es gilt:
a.)Kommutativität
b.)Assoziativität
c.)Es gibt ein Inverses für jedes Element
Naja, die Assoziativität weiß ich noch nicht.
Gruß nebben
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> Aus x+ x' = 0 folgt das inverse Element für :
> 0 ist es 0
> 1 ist es 3
> 2 ist es 2
> 3 ist es 1
Ja. Also hat jedes Element ein Inverses.
>
> 4.) Es handelt sich um eine abelsche Gruppe:
>
> weil es gilt:
> a.)Kommutativität
Hast Du die Kommutativität inzischen begründet? Tip: schau Dir mal die Symmetrie der Verknüpfungstafel an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela
Nein, die Kommutativität muß ich noch zeigen.
T ist achsensymmetrisch an der Achse 0 2 0 2. Deshalb muss man Kommutativität nur für eine Hälfte und der Achse der Verknüpfungstablle zeigen.
Es gilt Kommutativität weil:
0+0=0=0+0
1+0=1=0+1
2+0=2=0+2
3+0=3=0+3
1+1=2=1+1
2+1=3=1+2
3+1=0=1+3
2+2=0=2+2
3+2=1=2+3
3+3=2=3+3
gruß nebben
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> Hallo Angela
>
> Nein, die Kommutativität muß ich noch zeigen.
>
> T ist achsensymmetrisch an der Achse 0 2 0 2.
Jetzt beginnst Du zu übertreiben, der Hinweis auf die Symmetrie ist völlig ausreichend. Denn die Tafel kann ja nur symmetrisch sein, wenn die Verknüpfung kommutativ ist.
Die ist Dein zweiter Beweis für Kommutativität. Nicht so elegant, aber richtig.
>
> Es gilt Kommutativität weil:
>
> 0+0=0=0+0
> 1+0=1=0+1
> 2+0=2=0+2
> 3+0=3=0+3
>
> 1+1=2=1+1
> 2+1=3=1+2
> 3+1=0=1+3
>
> 2+2=0=2+2
> 3+2=1=2+3
> 3+3=2=3+3
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Danke für deinen Hinweis.
gruß nebben
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> Hallo
>
> Danke für deinen Hinweis.
>
> gruß nebben
Puh!
Das war gar keine Frage...
Gern geschehen, der Hinweis. Manches muß man halt mal erlebt haben, dann weiß man es.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 29.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Weiter gibt es bei der Aufgabe noch die Frage, ob man die Konstruktion auf alle Teilmengen {0,...,n} von [mm] \IN [/mm] verallgemeinern kann?
Kann man?
gruß nebben
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> Hallo
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> Weiter gibt es bei der Aufgabe noch die Frage, ob man die
> Konstruktion auf alle Teilmengen {0,...,n} von [mm]\IN[/mm]
> verallgemeinern kann?
>
> Kann man?
>
Ja.
Gruß v. Angela
> gruß nebben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela
Das ist nochmal der Gruppe T ={0,1,2,3}:
x [mm] \oplus [/mm] y [mm] $=\begin{cases} x+y, & \mbox{wenn } x+y \le 3 \\x+y-4& \mbox{wenn } x+y > 3 \end{cases} [/mm] $
Das sollte die Gruppe T'={0,...,n} sein:
x [mm] \oplus [/mm] y [mm] $=\begin{cases} x+y, & \mbox{wenn } x+y \le n \\x+y-(n+1)& \mbox{wenn } x+y > n \end{cases} [/mm] $
Sollte man das jetzt auch zeigen, dass T' eine Gruppe ist, wenn in der Aufgabenstellung nichts von "bitte zeigen Sie, dass das gilt" steht?
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> Hallo Angela
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> Das ist nochmal der Gruppe T ={0,1,2,3}:
Oh nein, oh nein ! Ich werde von ihr träumen...
>
> x [mm]\oplus[/mm] y [mm]=\begin{cases} x+y, & \mbox{wenn } x+y \le 3 \\x+y-4& \mbox{wenn } x+y > 3 \end{cases}[/mm]
>
>
> Das sollte die Gruppe T'={0,...,n} sein:
>
> x [mm]\oplus[/mm] y [mm]=\begin{cases} x+y, & \mbox{wenn } x+y \le n \\x+y-(n+1)& \mbox{wenn } x+y > n \end{cases}[/mm]
>
>
> Sollte man das jetzt auch zeigen, dass T' eine Gruppe ist,
> wenn in der Aufgabenstellung nichts von "bitte zeigen Sie,
> dass das gilt" steht?
Ich fürchte ja...Denn irgendwo tauchte ja die Frage auf, ob man das, was man mit T betrieben hat auf irgendwas mit n verallgemeinern kann, und dieses T' ist genau die Verallgemeinerung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela
Dann gilt es das neutrale Element und die Inversen zu zeigen.
Das neutrale Element sollte 0 bleiben und:
n+0=0+n=n
Um das inverse zu n zu finden muss n+n'=0 sein.
Ich kann es nicht zeigen. Wie geht das hier, bitte?
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> Hallo Angela
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> Dann gilt es das neutrale Element und die Inversen zu
> zeigen.
>
> Das neutrale Element sollte 0 bleiben und:
Achtung! n als Bezeichnung für ein beliebiges Gruppenelement völlig verkehrt, denn wir haben die Gruppe T'={0,1,2,...n}
Nenn ein beliebiges Element aus T' also lieber a oder wie auch immer. Alles, nur eben nicht n!!!!
Also: für alle [mm] a\in [/mm] T' gilt
> a [mm] \oplus [/mm] 0=0 [mm] \oplus [/mm] a=a.
>
> Um das inverse zu a zu finden muss a+a'=0 sein.
Fast. Es muß a [mm] \oplus [/mm] a' = 0 sein
>
> Ich kann es nicht zeigen. Wie geht das hier, bitte?
Rechne doch mal a [mm] \oplus [/mm] (n+1-a) aus...
Gruß v. Angela
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 30.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela
Sorry, ich habe unsinn gerechnet.
Also:
a.)wenn [mm] x\le [/mm] n:
a+(n+1-a) =n+1
b.) wenn x>n
a+(n+1-a)-(n+1) = 0
=> das Inverse für n bei:
a.)?
b.)?
gruß nebben
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> a.)wenn [mm]a \le[/mm] n:
> a+(n+1-a) =n+1
Ja. Und n+1=0 in dieser Gruppe
>
> b.) wenn a>n
> a+(n+1-a)-(n+1) = 0
>
> => das Inverse für n
Neeeeeeeeeeein!!!!!!!! a. das Inverse zu aaaaaaaaaaaaaaaa!
bei:
a.) n+1-a
b.) n+1-a
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 31.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo Angela,
Langsam merke ich, dass deine Antworten alle zusammenhängen.
Was mir fehlt ist die Einsicht weshalb in dieser Gruppe n+1=0 gilt.
Ich habe mir überlegt, dass ich die Fragen um die Assoziativität an dieser Stellen stelle, dann ist es einfacher.
Also danke für den ersten Fall. Ich dachte, dann könnte ich die restlichen Fälle lösen, aber ich irrte leider.
Der 2. Fall lautet:
wenn x+y $ [mm] \le [/mm] $ 3 und (x+y)+z > 3 muss gelten $(x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z= x [mm] \oplus( [/mm] y [mm] \oplus [/mm] z)$
x+y kann maximal 3 werden und diese 3 + z soll größer sein als 3. Vielleicht gilt Assoziativität wenn z>1 ?
Ist das brauchbar?
gruß nebben
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> Hallo Angela,
>
> Langsam merke ich, dass deine Antworten alle
> zusammenhängen.
> Was mir fehlt ist die Einsicht weshalb in dieser Gruppe
> n+1=0 gilt.
Schau, diese Gruppe T' ist doch die Verallgemeinerung von T auf n Elemente. Bei T hatten wir 4 Elemente, bei T' haben wir n Elemente.
Und die Verknüpfung x [mm] \oplus [/mm] y= x+y für x+y<n+1
und x [mm] \oplus [/mm] y= x+y-(n+1) für x+y [mm] \ge [/mm] n+1
Warum ist das so ? Was soll das? Nun, wenn wir nicht x [mm] \oplus [/mm] y= x+y-(n+1) definieren würden für für x+y [mm] \ge [/mm] n+1 wären wir ganz schön gelackmeiert: wir bekämen doch Elemente, die gar nicht in T' drin sind.
Mach Dir ganz klar: Du hast hier eine Gruppe zusammen mit einer Verknüpfung. Nämlich (T', [mm] \oplus) [/mm] und dafür ist alles zu zeigen.
Du mußt ganz klar zwischen [mm] \oplus [/mm] und+ unterscheiden, das ist etwas verschiedenes. Und bezüglich dieser Verknüpfung ist n+1=0 oder - drücken wir es lieber anders aus - es ist bzgl. dieser Verknüpfung n+1 das neutrale Element. Das ist gemeint, wenn im Zusammenhang mit T' geschrieben steht n+1=0
Ich will über das Thema jetzt kein Buch schreiben, erstens bin ich absolut nicht kompetent, und zweitens wäre es mühsam, aber zwei Hinweise noch: falls es Dir ein Anliegen ist, diese Gruppen zu verstehen (es sind die einfachsten fast, die man sich denken kann) kannst Du mal in einem bereits geschriebenen Buch nachschauen bei zyklischen Gruppen und Restklassen mod n.
Du hast jetzt viel Zeit mit dieser Gruppe verbracht. Ich sag' mal was:
Falls Du Physik studierst oder so etwas in der Richtung, laß es auf sich beruhen, wenn Du noch anderes zu tun hast.
Falls Du gerade angefangen hast, Mathematik zu studieren, mußt Du Dir zumindest darüber ganz klar sein, daß [mm] \oplus [/mm] etwas ganz anderes ist als das normale +, und daß sich alle Überlegungen bzgl. Gesetzen und Elementen auf diese Verknüpfung beziehen. Dann mußt Du noch wissen, was eine Gruppe ist: als erstes hast Du eine Menge mit einer Verknüpfung, die so gemacht ist, daß, egal welche Elemente Du verknüpfst, wieder ein Element der Menge herauskommt. Die Verknüpfung bleibt drinnen. Dann kommen noch die "Gruppengesetze".
>
> Ich habe mir überlegt, dass ich die Fragen um die
> Assoziativität an dieser Stellen stelle, dann ist es
> einfacher.
>
> Also danke für den ersten Fall. Ich dachte, dann könnte ich
> die restlichen Fälle lösen, aber ich irrte leider.
>
> Der 2. Fall lautet:
>
> wenn x+y [mm]\le[/mm] 3 und (x+y)+z > 3 muss gelten [mm](x \oplus y) \oplus z= x \oplus( y \oplus z)[/mm]
>
> x+y kann maximal 3 werden und diese 3 + z soll größer sein
> als 3. Vielleicht gilt Assoziativität wenn z>1 ?
Nee, Du, die Assoziativität gilt in jedem Fall bei dieser Gruppe mit der Verknüpfung. Sonst wäre es ja auch keine Gruppe...
Du sollst nicht nachweisen, in welchen Fällen das Gesetz gilt, sondern DASS es gilt. (Leider: auf den Aufgabenblättern täuschen die sich viel, viel seltener, als man selbst sich täuscht.)
In dem von Dir gegebenen Fall hast Du
(x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z=(x+y) [mm] \oplus [/mm] z =(x+y) +y+ z-4 =x+(y+z-4)=x [mm] \oplus [/mm] (y [mm] \oplus [/mm] z) wobei man für jeden schritt eine Begründung braucht. Man muß z. B. über (y+z-4) gründlichst nachdenken.
Gruß v. Angela
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