Gruppe mit drei Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abend! Also ich hab zwar eine ähnliche Frage im Archiv gefunden, allerdings die Antwort nicht wirklich verstanden, deshalb:
Zeige anhand der Gruppentafel, daß die Gruppe G({e, a, b}, °) kommutativ
sein muß. Das heißt, jede Gruppe die nur 3 Elemente enthält, ist
kommutativ.
Danke im Voraus!
MfG Simon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Supernuss!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Abend! Also ich hab zwar eine ähnliche Frage im Archiv gefunden, allerdings die Antwort nicht wirklich verstanden, deshalb:
Danke für den Hinweis und die Tatsache, dass du gesucht hast!
> Zeige anhand der Gruppentafel, daß die Gruppe G({e, a, b}, °) kommutativ sein muß. Das heißt, jede Gruppe die nur 3 Elemente enthält, ist kommutativ.
Schauen wir uns die Definition einer Gruppe an:
Eine Algebra [mm] $\langle S,\circ\rangle$ [/mm] mit einem zweistelligen Operator [mm] $\circ$ [/mm] heißt Gruppe, wenn
1.) [mm] $\circ$ [/mm] assoziativ ist,
2.) es ein neutrales Element [mm] $e\in [/mm] S$ gibt und
3.) jedes Element ein [mm] $a\in [/mm] S$ ein inverses Element besitzt.
So, interessant gleich zu Beginn ist für uns die Bedingung (2). Wir müssen also ein Element aus [mm] $\{e,a,b\}$ [/mm] auswählen, welches wir o.B.d.A. zum links- und rechtsneutrales (kurz neutrales) Element erklären. Dies sei nun das Element $e$. Dann ergibt sich für die Verknüpfungstafel schonmal folgendes:
[mm] $\begin{tabular}{c|c|c|c}\circ & e & a & b \\ \hline e & e & a & b \\ \hline a & a & & \\ \hline b & b & &\end{tabular}$
[/mm]
Wie du siehst, sind die bisherigen Verknüpfungen kommutativ und die Aussagen bleiben gültig, wenn du a und b vertauschst. Arbeitest du nun mit einer der beiden Variablen a oder b und zeigst beliebige Aussagen, die auf dem Bisherigen aufbauen, so kannst du sicher sein, dass Gleiches auch für die andere Variable gilt, da das Verwendete auch für vertauschte a und b gilt. Wenn du also etwas gezeigt hast, gilt es auch für die andere Variable, da du a und b einfach vertauschen kannst. Somit ist die dann entstandene Gruppe mit den bisher definierten Verknüpfungen wieder kommutativ.
Wenn du es durch formales Arbeiten zeigen möchtest, musst du zeigen, dass [mm] $a\circ b=b\circ [/mm] a$ gilt.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Tach!
Ja, du konntest mir helfen, die richtige Lösung muss wohl so lauten, oder?
e a b
e e a b
a a b e
b b e a
wenn in der Fragestellung nur steht, dass man dies an einer Gruppentafel zeigen soll, müsste das doch so reichen, oder?
Danke nochmals! MfG Simon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Supernuss!
> Ja, du konntest mir helfen, die richtige Lösung muss wohl
> so lauten, oder?
>
> e a b
> e e a b
> a a b e
> b b e a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn in der Fragestellung nur steht, dass man dies an einer
> Gruppentafel zeigen soll, müsste das doch so reichen,
> oder?
Ja. Du musst halt begründen, dass jedes Gruppenelement in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommen muss. Da durch das neutrale Element schon fünf Felder vorgegeben sind (siehe Hanno), müssen die restlichen vier Felder mit obiger Restriktion genau so aufgefüllt werden wie von dir hier beschrieben. Da die entstehende Gruppentafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist, ist die Gruppe kommutativ.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Arthur |
das ist nicht schwer,
überleg doch mal dass es ein neutrales element geben muss und es bei der verknüpfung für jedes element ein inverses element gibt
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