Gruppe der Ordnung 45 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Liane |
| Aufgabe | Es sei (G,*) eine Gruppe der Ordnung 45. Man zeige:
(i) G besitzt einen Normalteiler T der Ordnung 9 und einen Normalteiler S der Ordnung 5.
(ii) G = {t*s| t [mm] \in [/mm] T, s [mm] \in [/mm] S}
(iii) G [mm] \cong [/mm] T [mm] \oplus [/mm] S |
Hallo zusammen,
diese Aufgabe habe ich zum Lösen bekommen. Leider komme ich an der einen oder anderen Stelle nicht weiter bzw. ich weiß nicht, ob die Argumentation so reicht. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen.
Also nun zu den einzelnen Teilen:
(i) Es gilt [mm] |G|=45=3^{2} [/mm] * 5
Mit den Sylowsätzen erhält man:
t|5 ; 3|t-1 und
s|3 ; 5|s-1
[mm] \Rightarrow [/mm] t=s=1
Es gibt also nur eine 3-Sylowgruppe T und eine 5-Sylowgruppe S. Damit sind S und T auch Normalteiler von G, d.h.
|T|=9 ; |S|=5
und T [mm] \cap [/mm] S={1}
(ii) Seien st, s't' [mm] \in [/mm] ST. Dann gilt:
st=s't'
[mm] \gdw tt^{-1}'=s^{-1}s' \in [/mm] S [mm] \cap [/mm] T={1}
[mm] \gdw [/mm] s = s' ; t = t'
Also |ST|=|S|*|T|=45, also G={s*t | s [mm] \in [/mm] S , t [mm] \in [/mm] T}
(iii) Ist p Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung p oder [mm] p^{2} [/mm] abelsch, also ist auch G abelsch.
Betrachte nun den Kommutator von zwei Elementen [mm] s\inS [/mm] und [mm] t\inT: [/mm]
[mm] sts^{-1}t^{-1} [/mm] = [mm] (sts^{-1})t^{-1} [/mm] = [mm] s(tst^{-1}) \in [/mm] S [mm] \cap [/mm] T={1}
[mm] \Rightarrow [/mm] st=ts
Und somit gilt G [mm] \cong [/mm] T [mm] \oplus [/mm] S
Meine Frage:
Kann ich bei den Teilschritten so vorgehen oder fehlt bei der Argumentation noch wichtiges? Bei (iii) bin ich mir gar nicht sicher, weil ja die Isomorphie bzgl [mm] \oplus [/mm] gefragt ist und ich ja mit * argumentiere...
Liebe Grüße
Liane
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mi 24.06.2009 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Es sei (G,*) eine Gruppe der Ordnung 45. Man zeige:
>
> (i) G besitzt einen Normalteiler T der Ordnung 9 und einen
> Normalteiler S der Ordnung 5.
>
> (ii) G = {t*s| t [mm]\in[/mm] T, s [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
S}
>
> (iii) G [mm]\cong[/mm] T [mm]\oplus[/mm] S
> Hallo zusammen,
>
> diese Aufgabe habe ich zum Lösen bekommen. Leider komme ich
> an der einen oder anderen Stelle nicht weiter bzw. ich weiß
> nicht, ob die Argumentation so reicht. Vielleicht kann mir
> ja jemand von euch helfen.
>
> Also nun zu den einzelnen Teilen:
>
> (i) Es gilt [mm]|G|=45=3^{2}[/mm] * 5
> Mit den Sylowsätzen erhält man:
> t|5 ; 3|t-1 und
> s|3 ; 5|s-1
> [mm]\Rightarrow[/mm] t=s=1
> Es gibt also nur eine 3-Sylowgruppe T und eine
> 5-Sylowgruppe S. Damit sind S und T auch Normalteiler von
> G, d.h.
> |T|=9 ; |S|=5
> und T [mm]\cap[/mm] S={1}
Genau.
> (ii) Seien st, s't' [mm]\in[/mm] ST. Dann gilt:
> st=s't'
> [mm]\gdw tt^{-1}'=s^{-1}s' \in[/mm] S [mm]\cap[/mm] T={1}
> [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
s = s' ; t = t'
> Also |ST|=|S|*|T|=45, also G={s*t | s [mm]\in[/mm] S , t [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
T}
Genau.
> (iii) Ist p Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung p oder
> [mm]p^{2}[/mm] abelsch, also ist auch G abelsch.
Ja. (Wofuer brauchst du das denn?)
> Betrachte nun den Kommutator von zwei Elementen [mm]s\inS[/mm] und
> [mm]t\inT:[/mm]
> [mm]sts^{-1}t^{-1}[/mm] = [mm](sts^{-1})t^{-1}[/mm] = [mm]s(tst^{-1}) \in[/mm] S [mm]\cap[/mm]
> T={1}
> [mm]\Rightarrow[/mm] st=ts
> Und somit gilt G [mm]\cong[/mm] T [mm]\oplus[/mm] S
Ja, das gilt. Ganz allgemein gilt uebrigens, wenn $G$, $T$ Normalteiler sind, dass dann $G T =T G$ ist.
> Meine Frage:
> Kann ich bei den Teilschritten so vorgehen oder fehlt bei
> der Argumentation noch wichtiges? Bei (iii) bin ich mir gar
> nicht sicher, weil ja die Isomorphie bzgl [mm]\oplus[/mm] gefragt
> ist und ich ja mit * argumentiere...
Nun, es gilt ja genau dann $G [mm] \cong [/mm] T [mm] \oplus [/mm] S$, wenn $T S = G$ ist, $T [mm] \cap [/mm] S = [mm] \{ 1 \}$ [/mm] und $T S = S T$ ist. Falls ihr sowas schonmal in der Vorlesung behandelt hattet, folgt das damit.
LG Felix
|
|
|
|
