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| Aufgabe | | Die Gruppe ( [mm] \IQ [/mm] \ [mm] \{0 \}, [/mm] *) enthält keine Untergruppe der Ordnung 3. |
Also, die Antwort darauf ist laut Lösung "stimmt", aber ich habe "Untergruppe" und "Ordnung" folgendermaßen verstanden:
Untergruppe U: Nichtleere Teilmenge von Gruppe G, muß nichtleer sein, a [mm] \in [/mm] U, b [mm] \in [/mm] U, dann muß auch a*b [mm] \in [/mm] U liegen, und das inverse Element muß zu U gehören (zu jedem a [mm] \in [/mm] U muß es ein invers. geben).
Ordnung: Die Anzahl der Elemente einer Gruppe.
Kann mir jemand anhand eines Beispiels weiterhelfen, wieso in obiger Aufgabe keine Untergruppe der Ordnung 3 möglich ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Gruppe ( [mm]\IQ[/mm] \ [mm]\{0 \},[/mm] *) enthält keine Untergruppe
> der Ordnung 3.
> Also, die Antwort darauf ist laut Lösung "stimmt", aber
> ich habe "Untergruppe" und "Ordnung" folgendermaßen
> verstanden:
>
> Untergruppe U: Nichtleere Teilmenge von Gruppe G, muß
> nichtleer sein, a [mm]\in[/mm] U, b [mm]\in[/mm] U, dann muß auch a*b [mm]\in[/mm] U
> liegen, und das inverse Element muß zu U gehören (zu jedem
> a [mm]\in[/mm] U muß es ein invers. geben).
Genau.
> Ordnung: Die Anzahl der Elemente einer Gruppe.
Hier, ja. Der Begriff `Ordnung' hat bei Elementen einer Gruppe auch noch eine andere Bedeutung (die beiden sind jedoch verwandt).
> Kann mir jemand anhand eines Beispiels weiterhelfen, wieso
> in obiger Aufgabe keine Untergruppe der Ordnung 3 möglich
> ist?
Eine Untergruppe ist insbesondere eine Gruppe, und jede Gruppe der Ordnung 3 ist zyklisch. Also ist die Behauptung dazu aequivalent: Es gibt kein Element [mm] $\alpha \in \IQ \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit [mm] $\alpha, \alpha^2 \neq [/mm] 1$ und [mm] $\alpha^3 [/mm] = 1$. (Die Untergruppe ist dann gerade [mm] $\{ \alpha^0 = 1, \alpha^1, \alpha^2 \}$.)
[/mm]
Damit ist [mm] $\alpha$ [/mm] also eine Nullstelle des Polynoms [mm] $x^3 [/mm] - 1$. Nun ist [mm] $x^3 [/mm] - 1 = (x - 1) [mm] (x^2 [/mm] + x + 1)$. Da [mm] $\alpha \neq [/mm] 1$ ist, kann [mm] $\alpha$ [/mm] keine Nullstelle von $x - 1$ sein, ist also eine Nullstelle von [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$.
Es reicht also zu zeigen, dass [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$ keine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] hat. Dazu bringe es doch in die Form $(x - [mm] a)^2 [/mm] + b$ mit $a, b [mm] \in \IQ$: [/mm] ist $b > 0$, so kann dies offensichtlich nicht $0$ werden fuer jedes $x [mm] \in \IQ$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix, besten Dank für die Antwort.
Allerdings verstehe ich 2 Sachen noch nicht so ganz...
a) Hast Du ein konkretes, praktisches Beispiel für ein inverses Element einer Untergruppe [mm] \IQ [/mm] (mit {0}) der Ordnung 3? (Mit Angabe aller Elemente, die in dieser Gruppe vorkommen)
b) Wie kommst Du auf
>Eine Untergruppe ist insbesondere eine Gruppe, und jede Gruppe der >Ordnung 3 ist zyklisch. Also ist die Behauptung dazu aequivalent: Folgetext
Danke, und viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Do 03.08.2006 | | Autor: | SEcki |
> a) Hast Du ein konkretes, praktisches Beispiel für ein
> inverses Element einer Untergruppe [mm]\IQ[/mm] (mit {0}) der
> Ordnung 3? (Mit Angabe aller Elemente, die in dieser Gruppe
> vorkommen)
Welche Gruppe meinst du hier? Die additive Gruppe? Die hat auch keine Untergruppen der Ordnung 3 ...
> b) Wie kommst Du auf
>
> >Eine Untergruppe ist insbesondere eine Gruppe, und jede
> Gruppe der >Ordnung 3 ist zyklisch. Also ist die Behauptung
> dazu aequivalent: Folgetext
Naja, Untergruppen sind per Definition selber Gruppen. Und es gibt bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung 3 ...
SEcki
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