Gruppe, Teilerfremdheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 11.06.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung [mm] $n\in \mathbb{N}.$ [/mm] Weiters [mm] $\exists m\in \mathbb{N}: [/mm] ggT(m,n) = 1.$ Zu zeigen: [mm] $\forall g\in [/mm] G [mm] \exists [/mm] ! [mm] b\in [/mm] G: [mm] b^m=a [/mm] .$ |
Ich denke hier zeigen zu müssen, dass für zu $n$ teilerfremde Zahlen [mm] $\lambda \in \mathbb{Z} [/mm] $ existieren, wo die Abbildung [mm] $x\mapsto x^{\lambda}$ [/mm] injektiv ist.
Aber, ich weiß nicht ,wie ich dies tun soll. Ich kann mir unter dem Beispiel nur wenig vorstellen. Ich sehe einfach nicht, was das mit der Teilerfremdheit zu tun haben soll.
Frage: Hilft mir der Zusammenhang: [mm] $ggT(\lambda,n) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \exists l,m\in \mathbb{Z}: l\lambda [/mm] + nm = 1 $ weiter ?
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Hi,
> Es sei [mm]G[/mm] eine Gruppe der Ordnung [mm]n\in \mathbb{N}.[/mm] Weiters
> [mm]\exists m\in \mathbb{N}: ggT(m,n) = 1.[/mm] Zu zeigen: [mm]\forall g\in G \exists ! b\in G: b^m=a .[/mm]
Meinst du [mm]\forall g\in G \exists ! b\in G: b^m=\blue{g} .[/mm]?
>
> Ich denke hier zeigen zu müssen, dass für zu [mm]n[/mm]
> teilerfremde Zahlen [mm]\lambda \in \mathbb{Z}[/mm] existieren, wo
> die Abbildung [mm]x\mapsto x^{\lambda}[/mm] injektiv ist.
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> Aber, ich weiß nicht ,wie ich dies tun soll. Ich kann mir
> unter dem Beispiel nur wenig vorstellen. Ich sehe einfach
> nicht, was das mit der Teilerfremdheit zu tun haben soll.
>
> Frage: Hilft mir der Zusammenhang: [mm]ggT(\lambda,n) = 1 \Rightarrow \exists l,m\in \mathbb{Z}: l\lambda + nm = 1[/mm]
> weiter ?
Existenz:
Den Ansatz würde ich nachgehen. Sei G eine endl. Gruppe der Ordnung n. Man nehme sich ein [mm]g\in G[/mm] und hat [mm]g^n=e[/mm].
Laut Aufgabe ex. m mit ggT(m,n)=1, also ist [mm] $1=\alpha m+\beta [/mm] n$
Betrachte nun [mm]g^1=g^{\ldots +\ldots}[/mm]
Einsetzen, Umklammern, auseinanderschreiben, neu bezeichnen, ...
Eindeutigkeit:
Für die Eindeutigkeit würde ich den klassischen Ansatz nachgehen: Angenommen es gibt [mm] $b_1,b_2$ [/mm] mit ....
Gruß
wieschoo
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