Gruppe, Ordnung p^2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 22.01.2018 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm] p^2, [/mm] wobei p eine Primzahl ist. Sei n die Anzahl der Untergruppen von G. Beweisen Sie, dass
n ≤ p + 3. |
Hallo,
also: G ist entweder isomorph zu Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ
Fall 1: G ist isomorph zu Z/p^2Z dann existieren 3 Untergruppen.
Fall 2:
hier habe ich mir die additiven Untergruppen von Z/5Z x Z/5Z angesehen:
das wären:
die zwei trivialen,
dann:
{(0,0),(0,1),(0,4),(0,2),(0,3)} (erzeugt von (0,1))
{(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)} (erzeugt von (1,0))
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,0)} (erzeugt von (1,1))
{(0,0),(1,2),(4,3),(2,4),(3,1)} (erzeugt von (1,2))
{(0,0),(1,3),(4,2),(2,1),(3,4)} (erzeugt von (1,3))
{(0,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} (erzeugt von (1,4))
Was also genau auf die Zahl
p + 3 = 5+ 3 = 8 kommt.
Ich habe jedoch jetzt Schwierigkeiten zu zeigen, dass es keine weiteren Untergruppen geben kann und wäre sehr froh um einen Tipp.
Danke!
|
|
| |
|
> Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^2,[/mm] wobei p eine Primzahl
> ist. Sei n die Anzahl der Untergruppen von G. Beweisen Sie,
> dass
> n ≤ p + 3.
> Hallo,
>
> also: G ist entweder isomorph zu Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ
>
> Fall 1: G ist isomorph zu Z/p^2Z dann existieren 3
> Untergruppen.
> Fall 2:
> hier habe ich mir die additiven Untergruppen von Z/5Z x
> Z/5Z angesehen:
> das wären:
> die zwei trivialen,
> dann:
> {(0,0),(0,1),(0,4),(0,2),(0,3)} (erzeugt von (0,1))
> {(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)} (erzeugt von (1,0))
> {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,0)} (erzeugt von (1,1))
> {(0,0),(1,2),(4,3),(2,4),(3,1)} (erzeugt von (1,2))
> {(0,0),(1,3),(4,2),(2,1),(3,4)} (erzeugt von (1,3))
> {(0,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} (erzeugt von (1,4))
>
> Was also genau auf die Zahl
> p + 3 = 5+ 3 = 8 kommt.
>
> Ich habe jedoch jetzt Schwierigkeiten zu zeigen, dass es
> keine weiteren Untergruppen geben kann und wäre sehr froh
> um einen Tipp.
> Danke!
>
>
Hallo,
in einer Untergruppe der Ordnung p ist jedes Element ungleich 0 ein Erzeuger. Ist [mm]x\ne 0[/mm] Element einer Untergruppe H der Ordnung p, so ist H durch x eindeutig festgelegt. Damit kann jeden [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\ne 0[/mm] in maximnal einer Untergruppe der Ordnung p liegen.
|
|
|
|
