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Gruppe, Ordnung p^2: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Mo 22.01.2018
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm] p^2, [/mm] wobei p eine Primzahl ist. Sei n die Anzahl der Untergruppen von G. Beweisen Sie, dass
n ≤ p + 3.

Hallo,

also: G ist entweder isomorph zu Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ

Fall 1: G ist isomorph zu Z/p^2Z dann existieren 3 Untergruppen.
Fall 2:
hier habe ich mir die additiven Untergruppen von Z/5Z x Z/5Z angesehen:
das wären:
die zwei trivialen,
dann:
{(0,0),(0,1),(0,4),(0,2),(0,3)} (erzeugt von (0,1))
{(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)} (erzeugt von (1,0))
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,0)} (erzeugt von (1,1))
{(0,0),(1,2),(4,3),(2,4),(3,1)} (erzeugt von (1,2))
{(0,0),(1,3),(4,2),(2,1),(3,4)} (erzeugt von (1,3))
{(0,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} (erzeugt von (1,4))

Was also genau auf die Zahl
p + 3 = 5+ 3 = 8 kommt.

Ich habe jedoch jetzt Schwierigkeiten zu zeigen, dass es keine weiteren Untergruppen geben kann und wäre sehr froh um einen Tipp.
Danke!



        
Bezug
Gruppe, Ordnung p^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Fr 26.01.2018
Autor: donquijote


> Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^2,[/mm] wobei p eine Primzahl
> ist. Sei n die Anzahl der Untergruppen von G. Beweisen Sie,
> dass
>  n ≤ p + 3.
>  Hallo,
>
> also: G ist entweder isomorph zu Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ
>  
> Fall 1: G ist isomorph zu Z/p^2Z dann existieren 3
> Untergruppen.
>  Fall 2:
> hier habe ich mir die additiven Untergruppen von Z/5Z x
> Z/5Z angesehen:
> das wären:
> die zwei trivialen,
> dann:
> {(0,0),(0,1),(0,4),(0,2),(0,3)} (erzeugt von (0,1))
>  {(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)} (erzeugt von (1,0))
>   {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,0)} (erzeugt von (1,1))
>   {(0,0),(1,2),(4,3),(2,4),(3,1)} (erzeugt von (1,2))
>   {(0,0),(1,3),(4,2),(2,1),(3,4)} (erzeugt von (1,3))
>   {(0,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} (erzeugt von (1,4))
>  
> Was also genau auf die Zahl
> p + 3 = 5+ 3 = 8 kommt.
>  
> Ich habe jedoch jetzt Schwierigkeiten zu zeigen, dass es
> keine weiteren Untergruppen geben kann und wäre sehr froh
> um einen Tipp.
> Danke!
>  
>  

Hallo,
in einer Untergruppe der Ordnung p ist jedes Element ungleich 0 ein Erzeuger. Ist [mm]x\ne 0[/mm] Element einer Untergruppe H der Ordnung p, so ist H durch x eindeutig festgelegt. Damit kann jeden [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\ne 0[/mm] in maximnal einer Untergruppe der Ordnung p liegen.


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