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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Für reelle Zahlen a,b sei [mm] t_{a,b}:\IR \to \IR [/mm] definiert durch [mm] t_{a,b}(x)=ax+b. [/mm] Es sei [mm] G:=\{t_{a,b}:a,b\in \IR, a\not= 0\}. [/mm] Zeigen Sie:
a) Die Menge G bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.
b) Es ist [mm] N:=\{t_{1,b}:b\in \IR\} [/mm] Normalteiler in G.
c) Es gilt G/N [mm] \cong \IR [/mm] ohne 0. |
zu a)
Ich muss die Gruppenaxiome zeigen.
Ich würde jetzt mit der Abgeschlossenheit anfangen:
Seien [mm] t_{a,b} [/mm] und [mm] \lambda_{a,b} [/mm] Elemente in G. Zu zeigen ist, dass die Komposition dieser beiden Fkt. ebenfalls in G enthalten ist:
[mm] t_{a,b}(x) \circ \lambda_{a,b}(x)=(t_{a,b} \circ \lambda_{a,b})(x)=t_{a,b}(\lambda_{a,b}(x))=a(ax+b)+b=ax^2+ab+b.
[/mm]
Ist das richtig?
Und liegt das auch in G?
Irgendwie kommt mir das seltsam vor!
Jetzt muss ich noch die restlichen Gruppenaxiome zeigen.
Da habe ich bisher nichts. Ich werde mal überlegen und das dann als Mitteilungen an diese Frage anhängen.
Ebenso für die restlichen Teilaufgaben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für reelle Zahlen a,b sei [mm]t_{a,b}:\IR \to \IR[/mm] definiert
> durch [mm]t_{a,b}(x)=ax+b.[/mm] Es sei [mm]G:=\{t_{a,b}:a,b\in \IR, a\not= 0\}.[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> a) Die Menge G bildet mit der Komposition von Abbildungen
> eine Gruppe.
>
> b) Es ist [mm]N:=\{t_{1,b}:b\in \IR\}[/mm] Normalteiler in G.
>
> c) Es gilt G/N [mm]\cong \IR[/mm] ohne 0.
> zu a)
>
> Ich muss die Gruppenaxiome zeigen.
>
> Ich würde jetzt mit der Abgeschlossenheit anfangen:
>
> Seien [mm]t_{a,b}[/mm] und [mm]\lambda_{a,b}[/mm] Elemente in G.
Aber nicht mit den gleichen a, b ! Und warum [mm] \lambda [/mm] ?
Nimm also [mm]t_{a,b}[/mm] und [mm]t_{u,v}[/mm]
> Zu zeigen
> ist, dass die Komposition dieser beiden Fkt. ebenfalls in G
> enthalten ist:
>
> [mm]t_{a,b}(x) \circ \lambda_{a,b}(x)=(t_{a,b} \circ \lambda_{a,b})(x)=t_{a,b}(\lambda_{a,b}(x))=a(ax+b)+b=ax^2+ab+b.[/mm]
Quatsch. (Multiplizieren ist eine hohe Kunst)
>
> Ist das richtig?
Nein
> Und liegt das auch in G?
> Irgendwie kommt mir das seltsam vor!
Kein Wunder !
[mm] $(t_{a,b} \circ t_{u,v})(x)= [/mm] a(ux+v)+b= aux+av+b= [mm] t_{au,av+b}(x)$
[/mm]
FRED
>
> Jetzt muss ich noch die restlichen Gruppenaxiome zeigen.
> Da habe ich bisher nichts. Ich werde mal überlegen und
> das dann als Mitteilungen an diese Frage anhängen.
>
> Ebenso für die restlichen Teilaufgaben.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, es ist schon nicht einfach, zu multiplizieren. Das will geübt sein. Es bewahrheitet sich mal wieder, was ich ganz zu Anfang meines Studiums gehört habe:
"Das Erste, was man verlernt, ist rechnen."
Wie auch immer:
Ich möchte also die Abgeschlossenheit von G zeigen.
Seien [mm] t_{a,b},t_{u,v}\in [/mm] G.
[mm] t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)=(t_{a,b}\circ t_{u,v})(x)=t_{a,b}(t_{u,v}(x))=a(ux+v)+b=aux+av+b \in [/mm] G, da au, av+b [mm] \in \IR [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich möchte zeigen, dass G ein neutrales Element besitzt.
Verknüpfe ich ein Element (hier also eine Fkt.) in G mit diesem neutralen Element, muss doch wieder die Fkt. herauskommen, d.h., es darf sozusagen nichts passieren, richtig?
Daher habe ich mir gedacht, dass das neutrale Element ist:
[mm] t_{1,0}, [/mm] denn [mm] t_{a,b}(t_{1,0}(x))=a(x+0)+b=ax+b=t_{a,b}(x).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Fr 26.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
> Ja, es ist schon nicht einfach, zu multiplizieren. Das will
> geübt sein. Es bewahrheitet sich mal wieder, was ich ganz
> zu Anfang meines Studiums gehört habe:
> "Das Erste, was man verlernt, ist rechnen."
>
> Wie auch immer:
> Ich möchte also die Abgeschlossenheit von G zeigen.
> Seien [mm]t_{a,b},t_{u,v}\in[/mm] G.
>
> [mm]t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)=(t_{a,b}\circ t_{u,v})(x)=t_{a,b}(t_{u,v}(x))=a(ux+v)+b=aux+av+b \in[/mm]
> G, da au, av+b [mm]\in \IR[/mm]
Hallo dennis2,
wenn man soviel Ensicht hat nicht mehr rechnen zu können, dann besteht noch Hoffnung die Einsicht zu erlangen, dass man die Rechnung anderer nicht verfälschen darf.  Siehst Du die Fehler?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Nein, ich sehe sie leider nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Fr 26.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo dennis2,
> $ [mm] t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)=(t_{a,b}\circ t_{u,v})(x)=t_{a,b}(t_{u,v}(x))=a(ux+v)+b=aux+av+b \in [/mm] $ G, da au, av+b $ [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $
1. $ [mm] t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)$ [/mm] ist nicht definiert.
2. $aux+av+b [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] also $aux+av+b [mm] \notin [/mm] G$
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Jetzt bin ich komplett verwirrt.
Wie zeigt man denn dann die Abgeschlossenheit?! |
(Wieso mache ich immer so blöde Fehler`?)
Auf diese Frage muss man nicht antworten. Auf obige Frage schon... wäre jedenfalls toll! :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe den Begriff der Komposition falsch angewendet, oder?...
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Hallo dennis2,
völlig falsch ist es ja nicht.
FRED hat Dir korrekt gezeigt, was zu tun ist:
> $ [mm] (t_{a,b} \circ t_{u,v})(x)= [/mm] a(ux+v)+b= aux+av+b= [mm] t_{au,av+b}(x) [/mm] $
Daraus folgt jetzt für $a [mm] \neq 0\wedge [/mm] u [mm] \neq [/mm] 0$, dass [mm] $t_{a,b} \circ t_{u,v} \in [/mm] G$ ist!
Es ist wichtig zu unterscheiden, ob man mit Bildern einer Abbildung rechnet oder mit den Abbildungen selbst. Hier multiplizierst Du Abbildungen und bestimmst das Produkt $ [mm] (t_{a,b} \circ t_{u,v}) [/mm] = [mm] t_{au,av+b} \in [/mm] G$, indem Du die Bilder des Produktes betrachtest.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Auch auf die Gefahr hin, dass ich wieder falsch liege, möchte ich mal mein Gesamtresultat zu a) posten.
a)
Behauptung: G ist bzgl. [mm] \circ [/mm] [Komposition von Abbildungen] eine Gruppe.
Beweis:
Zu zeigen sind die Abgeschlossenheit (I.), die Existenz eines Neutralelements (II.), die Existenz eines Inversen zu jedem Element (III.) und schließlich die Assoziativität (IV.).
I.
[mm] t_{a,b},t_{u,v}\in [/mm] G
[mm] t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)=(t_{a,b}\circ t_{u,v})(x)=t_{a,b}(t_{u,v}(x))=a(ux+v)+b=aux+av+b=t_{au,av+b} [/mm] und das ist für [mm] a\not= [/mm] 0 [mm] \wedge u\not= [/mm] 0 ein Element in G.
II.
Ich behaupte, dass [mm] e=t_{1,0}.
[/mm]
Denn: [mm] t_{a,b}(t_{1,0}(x))=a(x+0)+b=ax+b=t_{a,b}(x)
[/mm]
III.
Sei [mm] t_{a,b}\in [/mm] G.
Ich behaupte, dass [mm] (t_{a,b})^{-1}=t_{\bruch{1}{a},\bruch{-b}{a}}.
[/mm]
Denn: [mm] t_{a,b}(t_{\bruch{1}{a},\bruch{-b}{a}}(x))=a(\bruch{1}{a}x-\bruch{b}{a})+b=x=t_{1,0}=e.
[/mm]
IV.
Seien [mm] t_{a,b},t_{u,v},t_{e,f}\in [/mm] G, wobei hier mit e natürlich nicht das Neutralelement gemeint ist.
[mm] t_{a,b}(x)\circ (t_{u,v}(x)\circ t_{e,f}(x))=t_{a,b}(x)\circ (t_{u,v}(t_{e,f}(x))=t_{a,b}(x)\circ (u(ex+f)+v)=t_{a,b}(x)\circ (uex+uf+v=t_{ue,uf+v}(x))=t_{a,b}(t_{ue,uf+v}(x))=a(uex+uf+v)+b)=(auex+auf+av+b)=t_{aue,auf+av+b}(x)
[/mm]
Und andererseits ebenso:
[mm] (t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x))\circ t_{e,f}(x)=(t_{a,b}(t_{u,v}(x))\circ t_{e,f}(x)=(a(ux+v)+b)\circ t_{e,f}(x)=(aux+av+b=t_{au,av+b}(x))\circ t_{e,f}(x)=t_{au,av+b}(t_{e,f}(x))=au(ex+f)+av+b=(auex+auf+av+b=t_{aue,auf+av+b}(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (I.-IV.) G ist Gruppe. [mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Fr 26.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo dennis2,
leider kann ich nur flüchtig korrigieren (keine Zeit mehr!)
> Auch auf die Gefahr hin, dass ich wieder falsch liege,
> möchte ich mal mein Gesamtresultat zu a) posten.
>
> a)
>
> Behauptung: G ist bzgl. [mm]\circ[/mm] [Komposition von Abbildungen]
> eine Gruppe.
>
> Beweis:
>
> Zu zeigen sind die Abgeschlossenheit (I.), die Existenz
> eines Neutralelements (II.), die Existenz eines Inversen zu
> jedem Element (III.) und schließlich die Assoziativität
> (IV.).
>
> I.
>
> [mm]t_{a,b},t_{u,v}\in[/mm] G
>
> [mm]t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)=(t_{a,b}\circ t_{u,v})(x)=t_{a,b}(t_{u,v}(x))=a(ux+v)+b=aux+av+b=t_{au,av+b}[/mm]
> und das ist für [mm]a\not=[/mm] 0 [mm]\wedge u\not=[/mm] 0 ein Element in
> G.
es gilt [mm] $t_{a,b}(x) \in \mathbb{R}$. [/mm] Deshalb ist [mm] $t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x)$ [/mm] ein Ausdruck von ähnlichem Sinngehalt wie $21 [mm] \circ \pi$, [/mm] aber [mm] $t_{au,av+b}\notin \mathbb{R}$. [/mm]
>
> II.
>
> Ich behaupte, dass [mm]e=t_{1,0}.[/mm]
> Denn: [mm]t_{a,b}(t_{1,0}(x))=a(x+0)+b=ax+b=t_{a,b}(x)[/mm]
Man muss zeigen, dass [mm] t_{1,0} \circ t_{a,b} [/mm] = [mm] t_{a,b} \circ t_{1,0} [/mm] = [mm] t_{a,b} [/mm] ist. (Gruppenaxiome!)
>
> III.
>
> Sei [mm]t_{a,b}\in[/mm] G.
> Ich behaupte, dass
> [mm](t_{a,b})^{-1}=t_{\bruch{1}{a},\bruch{-b}{a}}.[/mm]
> Denn:
> [mm]t_{a,b}(t_{\bruch{1}{a},\bruch{-b}{a}}(x))=a(\bruch{1}{a}x-\bruch{b}{a})+b=x=t_{1,0}=e.[/mm]
Wie bei II. ist es nötig nicht nur rs sondern auch sr für s invers zu r zu betrachten (Gruppenaxiome)
>
> IV.
>
> Seien [mm]t_{a,b},t_{u,v},t_{e,f}\in[/mm] G, wobei hier mit e
> natürlich nicht das Neutralelement gemeint ist.
>
> [mm]t_{a,b}(x)\circ (t_{u,v}(x)\circ t_{e,f}(x))=t_{a,b}(x)\circ (t_{u,v}(t_{e,f}(x))=t_{a,b}(x)\circ (u(ex+f)+v)=t_{a,b}(x)\circ (uex+uf+v=t_{ue,uf+v}(x))=t_{a,b}(t_{ue,uf+v}(x))=a(uex+uf+v)+b)=(auex+auf+av+b)=t_{aue,auf+av+b}(x)[/mm]
>
> Und andererseits ebenso:
>
> [mm](t_{a,b}(x)\circ t_{u,v}(x))\circ t_{e,f}(x)=(t_{a,b}(t_{u,v}(x))\circ t_{e,f}(x)=(a(ux+v)+b)\circ t_{e,f}(x)=(aux+av+b=t_{au,av+b}(x))\circ t_{e,f}(x)=t_{au,av+b}(t_{e,f}(x))=au(ex+f)+av+b=(auex+auf+av+b=t_{aue,auf+av+b}(x)[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (I.-IV.) G ist Gruppe. [mm]\Box[/mm]
pardon, kann nicht mehr weitermachen.
Ich hoffe Du weißt jetzt trotzdem, was Du verbessern musst.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, vielen Dank.
Die Teilaufgabe a) ist damit erledigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 26.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Jetzt ringe ich noch mit der Teilaufgabe c).
Behauptung: [mm] G/N\cong \IR\backslash\{0\} [/mm] |
Man muss doch hier nun einen Isomorphismus finden, der diese Behauptung beweist.
Aber leider habe ich gar keine Idee!
Wer kann mir hier helfen?
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Hallo dennis2,
um weiterzukommen ist es oft hilfreich, das Problem erstmal zu vereinfachen.
Wenn man keine Idee für einen Isomorphismus hat, dann hat man vielleicht eine für eine surjektive Abbildung $G [mm] \rightarrow \mathbb{R}\backslash\{0\}$? [/mm] Dazu siehst Du Dir an, wie die Elemente der Gruppen aussehen! Dann sollte es klar sein, wie der Hase läuft, oder?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe Folgendes überlegt:
Eine Abb. von [mm] \IR\backslash [/mm] {0} nach G/N würde ja elementweise so aussehen:
x [mm] \to [/mm] ax+ab+b.
Könnte man das ab+b nicht weglassen, also [mm] x\to [/mm] ax?
Wäre das ein Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 27.11.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo dennis2,
warum gehst Du nicht so vor, wie ich es vorschlage und suchst erstmal eine Abbildung
$G [mm] \rightarrow \mathbb{R}\backslash\{0\}$?
[/mm]
> Ich habe Folgendes überlegt:
>
> Eine Abb. von [mm]\IR\backslash[/mm] {0} nach G/N würde ja
> elementweise so aussehen:
>
> x [mm]\to[/mm] ax+ab+b.
>
> Könnte man das ab+b nicht weglassen, also [mm]x\to[/mm] ax?
>
> Wäre das ein Ansatz?
Ich weiß nicht genau was Du damit meinst, aber
das $x$ in [mm] $t_{a,b}(x)=ax+b$ [/mm] ist völlig irrelevant um die gesuchte Abbildung zu finden!
Relevant dagegen ist das $a$, weil es die Abbildung [mm] $t_{a,b}$ [/mm] für jedes $b$ festlegt!
Versuch mal mit Folgendem weiterzukommen:
$G [mm] \rightarrow \mathbb{R}\backslash\{0\}$
[/mm]
[mm] $t_{a,b} \mapsto [/mm] a$
Ist die Abbildung surjektiv?
Auf welche reelle Zahlen werden die Elemente aus $N$ abgebildet?
Was ist der Kern der Abbildung?
LG mathfunnel
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