Grup. einfach <-> Ordnung prim < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Kann man die Aufgabe folgendermaßen lösen:
[mm] \IZ_{n} [/mm] einfach [mm] \Rightarrow [/mm] n Primzahl
[mm] \IZ_{n} [/mm] ist zyklisch und damit abelsch, jede Untergruppe ist also Normalteiler.
Nach Voraussetzung ist [mm] \IZ_{n} [/mm] einfach, d.h. es hat nur die trivialen Normalteiler {e} und [mm] \IZ_{n}. [/mm] Weil jede Untergruppe Normalteiler ist, sind dies die einzigen Untergruppen von [mm] \IZ_{n}.
[/mm]
Wie kann ich jetzt den letzten Schritt vollführen, dass n dann eine Primzahl sein muss? Ich meine, es könnte ja sein, dass es auch Gruppen mit Ordnung [mm] \not= [/mm] Primzahl gibt, welche nur die Untergruppen {e} und sich selbst haben?
Obwohl, ich lese gerade in meinem Hefter, dass für jeden positiven Teiler d von n die Gruppe [mm] \IZ_{n} [/mm] genau eine Untergruppe der Ordnung m, nämlich die vom Element n/m erzeugte Untergruppe hat. D.h. wenn ich nur die beiden Untergruppen habe, muss n eine Primzahl sein, weil es sonst noch weitere Untegruppen gäbe.
q.e.d. ?
n Primzahl [mm] \Rightarrow \IZ_{n} [/mm] einfach:
[mm] \IZ_{n} [/mm] ist zyklisch und hat somit Ordnung n.
Weil [mm] \IZ_{n} [/mm] zyklisch ist, ist die Gruppe auch abelsch, und jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist Normalteiler.
Nach Voraussetzung ist die Ordnung der Gruppe [mm] \IZ_{n}, [/mm] n, eine Primzahl.
Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung einer Untergruppe Teiler der Ordnung n der Gruppe [mm] \IZ_{n}, [/mm] folglich können nur Untergruppen mit Ordnung 1 bzw. n existieren. Dies sind aber gerade die trivialen Untegruppen {e} und [mm] \IZ_{n}, [/mm] womit [mm] \IZ_{n} [/mm] einfach ist.
q.e.d.
Kann man das so schreiben oder ist gerade am Ende noch eine Lücke?
Grüße,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 07.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> D.h. wenn ich nur die beiden
> Untergruppen habe, muss n eine Primzahl sein, weil es sonst
> noch weitere Untegruppen gäbe.
Genau.
> Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung einer
> Untergruppe Teiler der Ordnung n der Gruppe [mm]\IZ_{n},[/mm]
> folglich können nur Untergruppen mit Ordnung 1 bzw. n
> existieren. Dies sind aber gerade die trivialen Untegruppen
> {e} und [mm]\IZ_{n},[/mm] womit [mm]\IZ_{n}[/mm] einfach ist.
Ja.
SEcki
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Ok, danke für deine Bestätigung!
Grüße, Stefan.
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