Grundl. Frage zu Polynomen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 24.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
wir betrachten ein polynom in [mm] \IR^n [/mm] , also bezüglich n variablen. Das Polynom P soll den Grad m haben und von dieser Form sein:
[mm] P(x_1 [/mm] ,..., [mm] x_n )=a_m [/mm] * [mm] (x_1 )^m [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{m-1} a_l (x_2 [/mm] ,..., [mm] x_n)*(x_1)^l
[/mm]
wobei hier [mm] a_l (x_2 [/mm] ,..., [mm] x_n) [/mm] ein Polynom in (n-1) variablen ist und vom Grad <= m-l.
1)
Warum genau ist es dann immer möglich, das Polynom auf diese Gestalt zu bringen?:
[mm] P(X_1 [/mm] ,.., [mm] x_n)=a_m *\produkt_{j=1}^{m} (x_1 [/mm] - [mm] p_j (x_2 [/mm] ,..., [mm] x_n)).
[/mm]
2)
Und ist es richtig, dass diese Polynome [mm] p_j [/mm] höchstens vom Grad 1 sein müssen?
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
LG
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> Hallo,
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> wir betrachten ein polynom in [mm]\IR^n[/mm] , also bezüglich n
> variablen. Das Polynom P soll den Grad m haben und von
> dieser Form sein:
>
> [mm]P(x_1[/mm] ,..., [mm]x_n )=a_m[/mm] * [mm](x_1 )^m[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{m-1} a_l (x_2[/mm]
> ,..., [mm]x_n)*(x_1)^l[/mm]
> wobei hier [mm]a_l (x_2[/mm] ,..., [mm]x_n)[/mm] ein Polynom in (n-1)
> variablen ist und vom Grad <= m-l.
> 1)
> Warum genau ist es dann immer möglich, das Polynom auf
> diese Gestalt zu bringen?:
> [mm]P(X_1[/mm] ,.., [mm]x_n)=a_m *\produkt_{i=1}^{m} (x_1[/mm] - [mm]p_j (x_2[/mm]
> ,..., [mm]x_n)).[/mm]
> 2)
> Und ist es richtig, dass diese Polynome [mm]p_j[/mm] höchstens vom
> Grad 1 sein müssen?
>
> Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
> LG
Hallo Braten,
bring bitte zuerst mal alles formal in die richtige Ordnung !
Weder in der Summe noch im Produkt kommt der Summations-
bzw. der Produktindex innerhalb des Ausdrucks vor. Das kann
wohl nicht so gemeint sein !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 24.07.2011 | | Autor: | Braten |
Ja entschuldige, du hast natürlich recht.
Ich hoffe, nun ist es besser:).
Also bei 1) weiß ich, dass jedes Polynom mit einer Variablen über [mm] \IC [/mm] sich zerlegen lässt. Hier ist das aber leider ein viel allgemeinerer Fall und wahrscheinlich nicht so elementar.
Bei 2) bin ich mir eigentlich ziemlich sicher, aber ich wollte nochmal eure bestätigung haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mo 25.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> wir betrachten ein polynom in [mm]\IR^n[/mm] , also bezüglich n
> variablen. Das Polynom P soll den Grad m haben und von
> dieser Form sein:
der Buchstabe l (kleines L) und die 1 sind sehr schwer zu unterscheiden. Ich habe den Buchstaben deswegen mal durch [mm] $\ell$ [/mm] ersetzt.
> [mm]P(x_1[/mm] ,..., [mm]x_n )=a_m[/mm] * [mm](x_1 )^m[/mm] + [mm]\summe_{\ell=0}^{m-1} a_\ell (x_2[/mm]
> ,..., [mm]x_n)*(x_1)^\ell[/mm]
> wobei hier [mm]a_\ell (x_2[/mm] ,..., [mm]x_n)[/mm] ein Polynom in (n-1)
> variablen ist und vom Grad [mm] $\le m-\ell$.
[/mm]
>
> 1)
> Warum genau ist es dann immer möglich, das Polynom auf
> diese Gestalt zu bringen?:
> [mm]P(X_1[/mm] ,.., [mm]x_n)=a_m *\produkt_{j=1}^{m} (x_1[/mm] - [mm]p_j (x_2[/mm]
> ,..., [mm]x_n)).[/mm]
Das ist es nicht. Ist zum Beispiel $P = [mm] x_1^2 [/mm] + 1$ mit $n = 1$, so geht das nicht.
Auch allgemeiner stimmt es nicht: selbst wenn man den alg. abgeschlossenen Koerper [mm] $\IC$ [/mm] anstelle [mm] $\IR$ [/mm] verwendet, wird man z.B. beim Polynom [mm] $x^3 [/mm] - [mm] y^2$ [/mm] nicht weiterkommen, da es nicht in dieser Form aufschreibbar ist. Das Problem ist, dass dieses Polynom irreduzibel ist.
Das ganze ist also nur in wenigen Faellen moeglich. Du kannst es immer ueber dem alg. Abschluss von [mm] $\IR(x_2, \dots, x_n)$ [/mm] auf diese Form bringen, mit Elementen [mm] $p_1, \dots, p_m \in \overline{\IR(x_2, \dots, x_n)}$; [/mm] diese sind sogar ![[]](/images/popup.gif) ganz ueber [mm] $\IR[x_2, \dots, x_n]$.
[/mm]
Aber sie muessen noch lange keine Elemente daraus sein.
Gibt es irgendeinen Grund warum du annimmst, das waer immer so?
> 2)
> Und ist es richtig, dass diese Polynome [mm]p_j[/mm] höchstens vom
> Grad 1 sein müssen?
Ja. Andernfalls waer der Totalgrad von $P$ nicht $m$, da der Totalgrad multiplikativ ist (d.h. $totaldeg(f g) = totaldeg(f) + totaldeg(g)$) und sonst einer der Faktoren Totalgrad $> 1$ haette.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo felix,
vielen Dank für deine Antwort! Was genau ist der algebraische Abschluss des Polynomrings [mm] \IR(x_2 [/mm] ,.., [mm] x_n)? [/mm] Ist es [mm] \IC(x_2 [/mm] ,..., [mm] x_n)?
[/mm]
Also ich bin davon ausgegangen, weil es so in meinem Buch steht!!!
(leider wird nicht weiter auf diese polynome [mm] p_j [/mm] eingegangen. Der Author hat zunächst die eine Ursprungs-Gleichung hergeleitet. Und sagt dann:
Konsequenterweise, hat unser Polynom diese (also welche nach deinen Ausführungen wohl falsch ist) gestalt.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 25.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> vielen Dank für deine Antwort! Was genau ist der
> algebraische Abschluss des Polynomrings [mm]\IR(x_2[/mm] ,.., [mm]x_n)?[/mm]
> Ist es [mm]\IC(x_2[/mm] ,..., [mm]x_n)?[/mm]
[mm] $\IC(x_2, \dots, x_n)$ [/mm] ist im alg. Abschluss enthalten, aber dieser ist viiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiel groesser. Das Polynom [mm] $x_2^3 [/mm] - [mm] x_3^2$ [/mm] zerfaellt ueber [mm] $\IC(x_2, x_3)$ [/mm] ebenfalls nicht in Linearfaktoren. (Es tut das ueber keinem Koerper.) Das Studium einfacher algebraischer Erweiterungen von [mm] $\IC(x)$ [/mm] (in einer Variablen) ist schon recht kompliziert -- diese Dinge entsprechen den kompakten eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten --, und wenn man alg. Erweiterungen von [mm] $\IC$ [/mm] mit mehreren Unbestimmten anschaut wird es immer schwieriger.
Ich bin mir nichtmals sicher, ob es eine schoene Beschreibung des alg. Abschlusses gibt, allein schon wenn man den Fall $n = 2$ (also den Koerper [mm] $\IC(x_2)$) [/mm] anschaut. Erst wenn man ihn vervollstaendigt, also den Koerper der Laurent-Reihen in einer Variablen anschaut, ist der alg. Abschluss davon bekannt (das ist der Koreper der Puiseux-Reihen mit Koeff. in [mm] $\IC$).
[/mm]
> Also ich bin davon ausgegangen, weil es so in meinem Buch
> steht!!!
was fuer ein Buch ist es? Und gibt es wirklich keine weiteren Voraussetzungen, aus denen das vielleicht doch irgendwie folgen koennte?
> (leider wird nicht weiter auf diese polynome [mm]p_j[/mm]
> eingegangen. Der Author hat zunächst die eine
> Ursprungs-Gleichung hergeleitet. Und sagt dann:
> Konsequenterweise, hat unser Polynom diese (also welche
> nach deinen Ausführungen wohl falsch ist) gestalt.
Wenn da sonst wirklich nichts vorausgesetzt wird, ist es ziemlich falsch.
LG Felix
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