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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Do 10.11.2016 | | Autor: | Foto |
Hi,
ich soll zeigen
a) [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] - 1= O [mm] (x^{2}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
b) [mm] x^{2} [/mm] + 3x= O (x) für x [mm] \to [/mm] 0
c) [mm] x^2-x-6=O(x-3) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 3
( O steht für die groß O Notation der Landau Symbole)
Ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen soll.
Laut Defintion gilt ja z. B. Bei a)
[mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] - 1 [mm] \le [/mm] K* [mm] x^{2} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 und x-0 < [mm] \delta
[/mm]
Ich muss jetzt doch zeigen, dass es so ein K gibt und [mm] \delta, [/mm] aber ich bekomme das nicht hin. Vielleicht hilft mir jemand
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Do 10.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
sagt dir die Regel von de l'hospital was ?
falls ja, so ist die Sache in einer Zeile erledigt.
falls nein, so überlege dir eine geeignete Abschätzung , etwa :
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] cos(x) [mm] \le \limes_{x \rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x} \le [/mm] 1$
wie du darauf kommst ? zeichne dir das mal am Einheitskreis auf.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 10.11.2016 | | Autor: | Foto |
Zunächst danke.
Ich kenne l'Hopital, wenn ich das auf a) anwende, bekomme ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{sin x}{x} [/mm] -1= -1 + [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{sin x}{x}
[/mm]
Jetzt l'Hopital
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{sin x}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{cos x}{1}= [/mm] 1
Und damit insgesamt -1+1= 0 als Grenzwert.
Ich verstehe jetzt nicht wie mir das zeigt das [mm] O(x^{2}) [/mm] ist. Kannst du mir dabei auch noch helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Do 10.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
habe ich aufgrund schlechter Formatierung deinem ersten Beitrag nicht entnommen.
$f(x)=O(g(x))$
falls es eine Konstante c>0 gibt, s.d.
$|f(x)| [mm] \le [/mm] c |g(x)|$
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 10.11.2016 | | Autor: | Foto |
Die Definition kenne ich ja, habe ich leider auch etwas ungünstig aufgeschrieben. Ich weiß nur nicht, wie ich das zeigen soll. Trotzdem danke.
Vielleicht hat jemand anderes noch einen Tipp oder so
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Fr 11.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo Foto
L'Hopital nutzt nur den Anfang der Reihe für sin(x) schreib 1 Glied mehr der TR von sin(x) und schon hast du dein O
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 11.11.2016 | | Autor: | Foto |
Danke. Wenn ich die Taylorreihe von sin x aufschreibe, habe ich ja
x - [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5!} [/mm] - ...
Ich sehe, dass für die Entwicklung von sin x die Ausdrücke nach x in der Taylorreihe nicht "wichtig" sind, aber ich kann das nicht "mathematisch" formulieren bzw. begründen, warum das O(x) sein soll.
Und warum reicht es eigentlich sich nur sin x anzuschauen und nicht alles, also [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] -1?
Muss ich bei b) und c) auch die Taylorreihe bilden?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Fr 11.11.2016 | | Autor: | chrisno |
Ich habe Bedenken, ob es ohne weiteren Beweis zulässig ist, sich den passenden Teil eines Funktionsterms herauszusuchen und nur diesen in eine Taylorreihe zu entwickeln. Du kannst den kompletten Funktionsterm in eine Reihe entwickeln. Die Begründung, warum Du die Terme mit größeren Potenzen vernachlässigen kannst, würde ich über eine Abschätzung des Restglieds angehen. Da das einen endlichen Wert hat, sollte es möglich sein, ein K zu finden, dass $k [mm] x^2$ [/mm] ausreichend groß ist.
Ob Du so einen Weg gehen sollst, hängt davon ab, in welchem Kontext diese Aufgabe gestellt wurde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 12.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin(x) ist durch seine tR definiert, natürlich ist dann sin(x)/x zu bilden, dann hast du [mm] 1-x^2/3+Glieder [/mm] höherer Ordnung . damit ist c=1 auf jeden Fall auf der sicheren Seite.
natürlich kann man Zähler und Nenner einzeln umformen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 13.11.2016 | | Autor: | Foto |
Danke schön.
zu a) Wenn ich die Taylorreihe für den Entwicklungspunkt 0 aufschreiben möchte, bekomme ich ein Problemm:
Die erste Ableitung von [mm] \bruch{sin x}{x}-1 [/mm] ist f'(x)= [mm] \bruch{x*cos x-sin x}{x^{2}} [/mm] Wenn ich hier jetzt oder auch schon in [mm] \bruch{sin x}{x}-1 [/mm] meinen Entwicklungspunkt 0 einsetze habe ich ja im Nenner eine 0 und das geht ja nicht. Wo liegt da mein Fehler?
zu b) Ich habe hier versucht zu zeigen, dass [mm] \bruch{x^{2}+3x}{x} \le [/mm] c ist
Mit x ausklammern komme ich auf x+3 [mm] \le [/mm] c, da x gegen 0 geht, müsste c=3 gelten oder? Oder c=4, da x nicht gleich 0 ist, sondern sich der 0 annähert?
zu c) mit dieser Teilaufgabe habe ich immer noch Probleme
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 13.11.2016 | | Autor: | chrisno |
> Danke schön.
> zu a) Wenn ich die Taylorreihe für den Entwicklungspunkt
> 0 aufschreiben möchte, bekomme ich ein Problemm:
> Die erste Ableitung von [mm]\bruch{sin x}{x}-1[/mm] ist f'(x)=
> [mm]\bruch{x*cos x-sin x}{x^{2}}[/mm] Wenn ich hier jetzt oder auch
> schon in [mm]\bruch{sin x}{x}-1[/mm] meinen Entwicklungspunkt 0
> einsetze habe ich ja im Nenner eine 0 und das geht ja
> nicht. Wo liegt da mein Fehler?
Soweit erkenne ich keinen Fehler. Nun sollte L'Hospital weiterhelfen.
Ich habe das nicht durchgerechnet.
Vertraue Leduart und mach es dir einfacher.
>
> zu b) Ich habe hier versucht zu zeigen, dass
> [mm]\bruch{x^{2}+3x}{x} \le[/mm] c ist
> Mit x ausklammern komme ich auf x+3 [mm]\le[/mm] c, da x gegen 0
> geht, müsste c=3 gelten oder? Oder c=4, da x nicht gleich
> 0 ist, sondern sich der 0 annähert?
Nun hast Du den Ansatz, wie Du den Beweis aufschreiben kannst.
Sei x kleiner 1. Diese Einschränkung ist zulässig ...
Sei c = 4.
Dann gilt .....
>
> zu c) mit dieser Teilaufgabe habe ich immer noch Probleme
Ersetze x durch x + 3 und schau Dir an, wie es dann aussieht.
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mo 14.11.2016 | | Autor: | Foto |
Danke!
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