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| Aufgabe | Vorraussetzung: a,b,c ganzzahlig wobei a oder b von 0 verschieden
Zeigen sie: Falls die Gleichung: ax+by=c eine Lösung besitzt, für x und y ganzzahlig sind, so wird c vom größten gemeinsamen Teiler von a und b geteilt. |
Wie bekomme ich den ggT heraus bzw. wie löse ich die Aufgabe?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
lg janina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 07.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Janina und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es soll ja eine Lösung geben, mit ganzzahligen x und y.
Da a und b und c auch ganzzahlig sind, gilt
ax+by=c
[mm] \gdw \bruch{b}{a}y=\bruch{c}{a}-x
[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{ca}{ba}-\bruch{a}{b}x
[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{c}{b}-\bruch{a}{b}x
[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{c-ax}{b} [/mm] und da y ganzzahlig ist [mm] (\in\IZ), [/mm] ist auch [mm] \bruch{c-ax}{b}\in\IZ, [/mm] also gilt: b teilt (c-ax)
Genauso gilt:
[mm] x=\bruch{c-by}{a}, [/mm] also: a teilt (c-by).
Wenn a (c-by) teilt heisst dass, es gibt ein [mm] \lambda\in\IZ, [/mm] so dass
[mm] \lambda*a=(c-by)
[/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{c-by}{\lambda}
[/mm]
Das wiederum heisst [mm] c-ax=c-\bruch{c-by}{\lambda}*y
[/mm]
Insbesondere gilt: [mm] c=\bruch{c-by}{\lambda}*y
[/mm]
Und ebenso gilt:
[mm] c-by=c-\bruch{c-ax}{\mu}*x [/mm] und damit
[mm] c=\bruch{c-ax}{\mu}*x
[/mm]
Also
[mm] \bruch{c-by}{\lambda}*y=\bruch{c-ax}{\mu}*x
[/mm]
[mm] \gdw (c-by)y\mu=(c-ax)x\lambda
[/mm]
mit: [mm] c\in\IZ, a\in\IZ, b\in\IZ, x\in\IZ, y\in\IZ, \lambda\in\IZ, [/mm] und [mm] \mu\in\IZ.
[/mm]
Jetzt spiel mal ein wenig mit dem ggT und dem kgV herum, dann solltest du zu deiner Lösung kommen.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Di 07.11.2006 | | Autor: | PixCell |
Hallo Marius!
erst mal herzlichen Dank für deine Mühe. Auch ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten und konnte bis hier ja noch folgen:
> Wenn a (c-by) teilt heisst dass, es gibt ein [mm]\lambda\in\IZ,[/mm]
> so dass
> [mm]\lambda*a=(c-by)[/mm]
> [mm]\gdw a=\bruch{c-by}{\lambda}[/mm]
Aber wie kommst du auf die weitere Umformung und wo bekommst du das [mm] \mu [/mm] dann her?
> Das wiederum heisst [mm]c-ax=c-\bruch{c-by}{\lambda}*y[/mm]
> Insbesondere gilt: [mm]c=\bruch{c-by}{\lambda}*y[/mm]
> Und ebenso gilt:
> [mm]c-by=c-\bruch{c-ax}{\mu}*x[/mm] und damit
> [mm]c=\bruch{c-ax}{\mu}*x[/mm]
>
> Also
> [mm]\bruch{c-by}{\lambda}*y=\bruch{c-ax}{\mu}*x[/mm]
> [mm]\gdw (c-by)y\mu=(c-ax)x\lambda[/mm]
>
> mit: [mm]c\in\IZ, a\in\IZ, b\in\IZ, x\in\IZ, y\in\IZ, \lambda\in\IZ,[/mm]
> und [mm]\mu\in\IZ.[/mm]
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen, da ich schwer auf dem Schlauch stehe. Tausend Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 08.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Das ist die Definition von "Teilt"
Wenn gilt a teilt b, dann gibt es ein [mm] \lambda, [/mm] so dass [mm] \lambda*a=b.
[/mm]
Mathematisch ausgedrückt:
[mm] a|b\gdw\exists\lambda:\lambda*a=b
[/mm]
Marius
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