Größenbschätzung von Primzahle < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, daß für die Abschätzung der nach größe geordneten Primzahlen [mm] p_1, p_2, \ldots p_n [/mm] gilt:
[mm] p_n \le 2^{2^{(n-1)}} [/mm] |
Hat jemand eine Idee, wie man das zeigen kann? Stehe total auf'm Schlauch.
Danke schonmal vorab für eure Ideen...
Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Do 15.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Steffen!
> Zeigen Sie, daß für die Abschätzung der nach größe
> geordneten Primzahlen [mm]p_1, p_2, \ldots p_n[/mm] gilt:
> [mm]p_n \le 2^{2^{(n-1)}}[/mm]
> Hat jemand eine Idee, wie man das
> zeigen kann? Stehe total auf'm Schlauch.
>
> Danke schonmal vorab für eure Ideen...
Zeige dies doch per Induktion. Fuer $n = 1$ ist dies klar 
Gelte jetzt die Aussage fuer ein $n$. Du weisst doch, dass [mm] $p_1 p_2 \cdots p_n [/mm] + 1$ eine Zahl ist, die nicht durch [mm] $p_1, p_2, \dots, p_n$ [/mm] teilbar ist. Damit muss diese Zahl [mm] $\ge p_{n+1}$ [/mm] sein (warum?).
Schaetze diese Zahl doch mal nach oben ab mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung und $1 + x [mm] \le [/mm] 2 x$ (fuer $x [mm] \ge [/mm] 1$). Dann hast du fast sofort die gesuchte Schranke da stehen.
LG Felix
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