Grenzwertsätze unendlich viele < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Di 26.11.2013 | | Autor: | lilli92 |
Ich hätte eine allgemeine Frage zu Grenzwertsätzen. Soweit ich weiß sind diese ja eigentlich nur für endlich viele Folgen definiert.
Betrachte ich nun speziell den ersten Grenzwertsatz:
[mm] a_{n}+b_{n}=a+b [/mm] falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b [/mm] so kann man diesen recht einfach beweisen:
[mm] |(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\le|(a_{n}-a)|+|(b_{n}-b)|\le\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon
[/mm]
Da die Grenzwerte von [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] für ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] existieren kann ich dies auch mit [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] tun.
Wenn man das ganze jetzt mit n Folgen macht funktioniert das analog wobei man auf [mm] |(a_{n}+b_{n}+c_{n}+...)-(a+b+c+...)|\le\bruch{\varepsilon}{n}+\bruch{\varepsilon}{n}+\bruch{\varepsilon}{n}+...=n\bruch{\varepsilon}{n}=\varepsilon [/mm] kommt.
Das geht auch für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen [mm] \varepsilon [/mm]
Das würde bedeuten dass der erste Grenzwertsatz auch für unendlich viele Folgen gilt?
Wenn ich analog die einzelnen Grenzwerte gegen [mm] \bruch{\varepsilon}{n^2} [/mm] abschätze würde ich in der Summe auf [mm] n\bruch{\varepsilon}{n^2}=\bruch{\varepsilon}{n} [/mm] kommen. Dies geht gegen 0 für n gegen unendlich. Und da [mm] \varepsilon>0 [/mm] sein muss wäre dies ein Widerspruch. Daraus würde folgen, dass der Grenzwertsatz nicht für unendlich viele Folgen gilt.
Wo ist denn nun mein Denkfehler? Der erste Beweis macht für mich mehr Sinn, allerdings dachte ich, dass die Grenzwertsätze nur für endlich viele Folgen gelten.
Allgemein wird in einer Aufgabe der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] mit n Summanden induktiv der erste Grenzwert angewandt. Es wird dann gesagt, da die Grenzwerte der einzelnen Summanden mit jeweils 0 existieren, existiert auch der Grenzwert von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0. [/mm] Man soll die Aussagen auf Richtigkeit überprüfen. Deshalb der Frage nach der Anwendung auf unendlich viele Folgenglieder.
Eine zweite Frage die gerade aufkommt: bildet man erst den Limes, so gibt es unendlich viele Summanden/Folgen. Kann ich denn dann den Limes überhaupt hineinziehen?
Liebe Grüße
Lilli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lilli,
> Ich hätte eine allgemeine Frage zu Grenzwertsätzen.
> Soweit ich weiß sind diese ja eigentlich nur für endlich
> viele Folgen definiert.
> Betrachte ich nun speziell den ersten Grenzwertsatz:
> [mm]a_{n}+b_{n}=a+b[/mm] falls [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b[/mm] so kann man diesen
> recht einfach beweisen:
>
> [mm]|(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\le|(a_{n}-a)|+|(b_{n}-b)|\le\bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
> Da die Grenzwerte von [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] für ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] existieren kann ich dies auch mit
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] tun.
> Wenn man das ganze jetzt mit n Folgen macht funktioniert
> das analog wobei man auf
> [mm]|(a_{n}+b_{n}+c_{n}+...)-(a+b+c+...)|\le\bruch{\varepsilon}{n}+\bruch{\varepsilon}{n}+\bruch{\varepsilon}{n}+...=n\bruch{\varepsilon}{n}=\varepsilon[/mm]
> kommt.
> Das geht auch für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen [mm]\varepsilon[/mm]
> Das würde bedeuten dass der erste Grenzwertsatz auch für
> unendlich viele Folgen gilt?
> Wenn ich analog die einzelnen Grenzwerte gegen
> [mm]\bruch{\varepsilon}{n^2}[/mm] abschätze würde ich in der Summe
> auf [mm]n\bruch{\varepsilon}{n^2}=\bruch{\varepsilon}{n}[/mm]
> kommen. Dies geht gegen 0 für n gegen unendlich. Und da
> [mm]\varepsilon>0[/mm] sein muss wäre dies ein Widerspruch. Daraus
> würde folgen, dass der Grenzwertsatz nicht für unendlich
> viele Folgen gilt.
> Wo ist denn nun mein Denkfehler? Der erste Beweis macht
> für mich mehr Sinn, allerdings dachte ich, dass die
> Grenzwertsätze nur für endlich viele Folgen gelten.
so ganz blicke ich nicht durch: Die Frage ist doch schon, was Du unter
unendlich vielen Summanden verstehen willst. Bedenke bitte, dass,
entgegen der Vorstellung vieler, das Symbol
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
keineswegs einfach
[mm] $a_1+a_2+a_3+...$
[/mm]
bedeutet. Das Symbol steht für die Folge der Partialsummen [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n a_k\,.$
[/mm]
(Eventuell startet ihr auch bei [mm] $k=0\,$ [/mm] oder [mm] $k=n_0\,,$ [/mm] das sollte man dann
analog alles anpassen!)
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $s_n$ [/mm] (das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied von [mm] $(s_k)_k$) [/mm] eine Summe
bestehend aus ENDLICH VIELEN Summanden.
An den [mm] "$a_k$" [/mm] wird dabei nicht gerüttelt: [mm] $a_1$ [/mm] ist unabhängig von [mm] $n\,,$
[/mm]
ebenso [mm] $a_2\,$ [/mm] etc. pp..
Wenn das Symbol
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$
[/mm]
nun auch als "Reihenwert" benutzt wird, so bekommt es neben seiner
Bedeutung, als Symbol für [mm] $(s_n)_n\,,$ [/mm] auch noch die Bedeutung des Grenzwertes
dieser Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] - das geht natürlich auch nur, wenn diese denn konvergent
ist:
Dann hat [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] auch die Bedeutung
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n a_k\,.$ [/mm]
(Lerntest: Wie kann man dem Satz
"Wenn die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert sie gegen [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$"
[/mm]
den Sinn entnehmen, indem man das Symbol [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] jeweils "übersetzt"?)
Du siehst hier insbesondere: Weder [mm] $k\,$ [/mm] hängt von [mm] $n\,$ [/mm] ab, noch tut dies [mm] $a_k\,.$
[/mm]
> Allgemein wird in einer Aufgabe der
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] mit n Summanden induktiv
> der erste Grenzwert angewandt. Es wird dann gesagt, da die
> Grenzwerte der einzelnen Summanden mit jeweils 0
> existieren, existiert auch der Grenzwert von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0.[/mm] Man soll die Aussagen
> auf Richtigkeit überprüfen. Deshalb der Frage nach der
> Anwendung auf unendlich viele Folgenglieder.
Es ist schon die Frage: Was soll denn das überhaupt bedeuten? Man kann
sich vielleicht sowas vorstellen:
Gegeben sei die Folge von Folgen [mm] $(a^{(m)})_m$ [/mm] mit
[mm] $a^{(m)}=(a^{(m)}_n)_n\,.$
[/mm]
Unter
[mm] $\sum_{m=1}^\infty a^{(m)}$
[/mm]
wollen wir folgendes verstehen:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei
[mm] $S_n:=\sum_{m=1}^\infty a^{(m)}_n\,,$
[/mm]
also der entsprechende Reihenwert. Dann sei
[mm] $(S_n)_n$
[/mm]
die durch diese Reihenwerte gebildete Folge. Dann braucht man aber
schon, dass
[mm] $\sum_{m=1}^\infty a^{(m)}_n$
[/mm]
für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert. (Wenn Du das bei endlich vielen Folgen
vergleichst: Das Problem taucht dort nicht auf, denn in [mm] $\sum_{m=1}^N a^{(m)}_n$ [/mm] hat
man für jedes [mm] $n\,$ [/mm] halt nur "endlich viele Summanden" [mm] ($N\,$ [/mm] Stück) und muss sich nicht
um die Existenz eines Reihenwerts - man braucht ja die Konvergenz der Folge
der Partialsummen, wenn [mm] $\sum_{m=1}^\infty a^{(m)}_n$ [/mm] ein Reihenwert ist - Gedanken
machen!)
Das wäre irgendwie "analog" zu dem Vorgehen, was man bei endlich
vielen Folgen macht. Du siehst jedenfalls:
Alleine schon die Formulierung dessen, was man überhaupt beweisen
oder widerlegen will, kostet einiges an Mühe.
(Warum ist das letzte analog? Naja:
Nehmen wir mal an, dass Du [mm] $3\,$ [/mm] Folgen hast, die alle konvergieren:
[mm] $a^{(1)}=(a^{(1)}_n)_n\,,$ $a^{(2)}=(a^{(2)}_n)_n\,,$ $a^{(3)}=(a^{(3)}_n)_n\,.$
[/mm]
(Die Grenzwerte solltest Du hier nicht auch nochmal [mm] $a^{(k)}$ [/mm] nennen, sondern
meinetwegen etwa [mm] $a^{(k)}_\infty\,.$)
[/mm]
Dann schreibst Du doch sowas wie
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sum_{m=1}^3 a^{(m)}_n=\sum_{m=1}^3 \lim_{n \to \infty}a^{(m)}_n\,.$
[/mm]
Jetzt mache aus der [mm] $3\,$ [/mm] mal ein [mm] $\infty$ [/mm] und denke dran, was ich oben über
"Reihen" bzw. "Reihenwerte" gesagt habe...)
> Eine zweite Frage die gerade aufkommt: bildet man erst den
> Limes, so gibt es unendlich viele Summanden/Folgen. Kann
> ich denn dann den Limes überhaupt hineinziehen?
Also Fazit:
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: Sind [mm] $(a^{(m)}_{n})_n$ [/mm] konvergente Folgen mit
[mm] $a^{(m)}_\infty:=\lim_{n \to \infty} a^{(m)}_n$ [/mm] ($m=1,...,N$)
so gilt auch
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sum_{m=1}^N a^{(m)}_n=\sum_{m=1}^N\lim_{n \to \infty}a^{(m)}_n\,.$
[/mm]
Dabei kannst Du aber aus [mm] $N\,$ [/mm] nicht einfach [mm] $\infty$ [/mm] machen. Auch nicht, wenn
man die letzte Interpretation mit "Reihenwerten gebildet durch die
Folgenglieder mit gleichem Index", die ich als letztes erwähnte, hernimmt.
Nimm' dazu mal
[mm] $a^{(m)}_n:=\frac{1}{n^2*m}\,.$
[/mm]
Dann existiert für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] sicher
[mm] $\lim_{n \to \infty}a^{(m)}_n=0\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $S_1=\sum_{m=1}^\infty a^{(m)}_1=\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m}=\infty$
[/mm]
[mm] $S_2=\sum_{m=1}^\infty a^{(m)}_2=\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{4m}=\infty$
[/mm]
.
.
.
Also [mm] $\lim_{n \to \infty}S_m=\lim_{n \to \infty}\infty=\infty\,.$
[/mm]
Jedoch ist
[mm] $\sum_{m=1}^\infty \lim_{n \to \infty}a^{(m)}_n=\sum_{m=1}^\infty 0=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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