Grenzwertkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:21 Di 30.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
ich habe die Frage, nach welchem Kriterium ich beim Grenzwertkriterium zur Konvergenzbestimmung bei Reihen den Wert ermitteln muss, durch den ich teile.
Es ist ja [mm] \bruch {a_n}{b_n}, [/mm] aber wie muss das [mm] b_n [/mm] beschaffen sein allgemein, damit ich dies berechnen kann?
zB
[mm] \bruch {3n^2 -2}{n^4+5n} [/mm] hier wurde [mm] 1/n^2 [/mm] als konvergente Reihe herangezogen. Wahrscheinlich vermutet man hier Konvergenz, da der Nenner schneller wächst als der Zähler, also eine Nullfolge. Aber wieso gerade [mm] 1/n^2? [/mm] Und wie ist das für die anderen Reihen? Ist es immer ein Quotient 1/(höchster Exponent)?
Und verhält es sich bei Reihen wie bei Folgen mit den Ausdrücken, die nicht definiert sind und wo man Umformungen vornehmen muss?
Also unendlich*0, unendlich-unendlich, unendlich/unendlich und 0/0?
Lieben Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Di 30.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Ich habe ein Beispiel hineingebastelt.
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Hallo Englein,
jetzt ist es verständlicher.
Dennoch gibt es kein einfaches Kochrezept. Mit ein bisschen Übung findest Du aber meistens eine Vergleichsfolge (bzw. -reihe), die Du für die Überprüfung verwerten kannst.
Nebenbei: welches Grenzwertkriterium meinst Du eigentlich? Es gibt ja mehrere...
Grüße,
reverend
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Ich meine dieses Grenzwertkriterium:
Sind [mm] \summe a_n [/mm] und [mm] \summe b_n [/mm] zwei Reihen mit positiven Gliedern und 0 < [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {a_n}{b_n} [/mm] < unendlich so haben beide Reihen dasselbe Konvergenzverhalten.
Dafür müsste doch irgendeine Faustregel geben, wie ich [mm] b_n [/mm] finde. Ich habe gehört, dass es dann meistens ebenfalls ein Quotient ist mit 1 geteilt durch den höchsten Exponenten, zB [mm] n^3. [/mm] Aber es kann ja nicht so einfach sein, worauf muss ich achten?
--
Bei den nicht-eindeutigen Ausdrücken gibt es keine Möglichkeit diese auch auf die Reihen zu übertragen, also um zu sehen, wann ich so ein Kriterium anwende?
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Hallo Engelein,
ein Allheilmittel zum finden einer Majorante oder Minorante gibt es leider nicht.
Beim Untersuchen von speziellen Reihen hat man aber meistens nur wenig Möglichkeiten.
Meistens (nicht immer) gelingt es, die Reihe auf die harmonische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] aufzuschätzen. Die harmonische Reihe divergiert bekanntlich (Beweis z.B. über Cauchy-Kriterium). Ich würde sagen das ist so ziehmlich die Minorante Nr. 1^^.
Das "Gegenstück" dazu ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}, [/mm] da diese gemütlich zu einer Telespoksumme herabgeschätzt werden kann. [mm] (\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*n}\le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n-1)}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n}). [/mm]
Manchmal kann auch die Reihe direkt zu einer Telepoksumme herabgeschätzt werden. Dann bleibt nur die erste Hälfte des ersten Summanden und zweite Hälfte des letzten Summanden übrig.
Mehr fällt mir spontan nicht ein. Meistens hilft "scharfes hingucken" und "wissen wo man hin will", der Rest kommt von selbst nach ein wenig Übung. Such einfach mal nach Grenzwerten von Reihen hier im Matheraum, und schau mal wie hier vorgegangen wurde.
lg Kai
Ps: Guten Rutsch!
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Das ist echt schade, dass man bei dem Grenzwertkriterium nicht sagen kann, wie in etwa die "Vergleichsreihe" aussehen muss. Es kann ja dann eine Majorante oder Minorante sein, denn ob sie größer oder kleiner sein soll, ist ja nicht definiert.
Was mich dabei ängstigt: Wenn ich keine richtige Vergleichsreihe finde, komme ich mit dem Grenzwertkriterium doch gar nicht zum Schluss, also zu keinem Ergebnis, oder? Wenn ich zB [mm] \bruch {1}{n^2} [/mm] nehme statt [mm] \bruch {36x}{n^2} [/mm] (wobei es ja sinnlos ist, da ich hiervon ja auch die Konvergenz nicht kenne). Ist das dann egal?
Und wie sieht es dann noch mit den Ausdrücken wie unendlich:unendlich oder 0:0 aus. Ist das wie bei Folgen anwendbar, dass ich dann ein Kriterium heranziehen muss, das mir die Konvergenz deutlicher zeigt? Kann ich bei Reihen auch problemlos einfach erstmal "umformen" oder muss ich sofort so ein Kriterium wie das Quotientenkriterium, Leibniz, Grenzwertkriterium heranziehen?
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> Was mich dabei ängstigt: Wenn ich keine richtige
> Vergleichsreihe finde, komme ich mit dem Grenzwertkriterium
> doch gar nicht zum Schluss, also zu keinem Ergebnis, oder?
Hallo,
ja, logisch: wenn Du keine vergleichsreihe hast, kannst Du nicht vergleichen.
> Wenn ich zB [mm]\bruch {1}{n^2}[/mm] nehme statt [mm]\bruch {36x}{n^2}[/mm]
> (wobei es ja sinnlos ist, da ich hiervon ja auch die
> Konvergenz nicht kenne). Ist das dann egal?
Zeierlei:
wenn x fest ist, dann konvergieren [mm] \summe \bruch {1}{n^2} [/mm] und [mm] \bruch {36x}{n^2} [/mm] beide. Kennst Du einen grenzwert, kennst Du den anderen auch.
Welche Reihe Du zum Vergleichen nimmst, ist völlig schnuppe, sofern es funktioniert.
In den Fällen, in denen es mit [mm] \bruch {36x}{n^2} [/mm] funktioniert, funktioniert's mit [mm] \summe \bruch {1}{n^2} [/mm] auch.
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> Und wie sieht es dann noch mit den Ausdrücken wie
> unendlich:unendlich oder 0:0 aus. Ist das wie bei Folgen
> anwendbar, dass ich dann ein Kriterium heranziehen muss,
> das mir die Konvergenz deutlicher zeigt?
Was du jetzt mit "Kriterium" meinst, weiß ich nicht.
Für Deinen Grenzwertsatz benötigst Du (sofern vorhanden) $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {a_n}{b_n} [/mm] $, und den mußt Du mit irgendeiner Methode ausrechnen., wenn er Dir nicht gleich in die Augen springt.
> Kann ich bei
> Reihen auch problemlos einfach erstmal "umformen" oder muss
> ich sofort so ein Kriterium wie das Quotientenkriterium,
> Leibniz, Grenzwertkriterium heranziehen?
Ich weiß jetzt nicht so recht, was Du unter "Umformen" verstehst.
In [mm] \summe c_n [/mm] darfst Du die einzelnen Folgenglieder natürlich auf einen gemeinsamen Nenner bringen, Du darfst Konstanten vor die Summe ziehen.
Vielleicht sagst Du mal genauer, was Du meinst, damit sichergestellt ist, daß beide Seiten über dasselbe Thema reden.
Gruß v. Angela
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Ich meine mit den Kriterien Folgerndes: Wenn ich bei Folgen so etwas habe wie unendlich durch unendlich oder unendlich minus unendlich, dann muss ich die Folge umformen, um etwas zu erhalten, wo ich den Grenzwert genauer bestimmen kann.
Meine Frage ist, ob das bei Reihen genauso der Fall ist. Dass ich erst einmal umformen kann, bevor ich so ein Kriterium wie das Grenzwertkriterium, das Quotienten- oder Qurzelkriterium anwende. Dass ich diese Verfahren nur anwende, wenn ich mit umformen der Reihe nicht weiterkomme. Ob es also auch bei Reihen möglich ist, nur durch Umformungen wie Ausklammern oder Brüche bilden zu einem Grenzwert zu gelangen. Denn bei Folgen habe ich ja keine Verfahren wie das Grenzwertkriterium.
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Mit dem Vergleich [mm] 36x/n^2 [/mm] vs [mm] 1/n^2 [/mm] meine ich etwas anderes. Nämlich, dass ich zB nicht nur den Nenner davon abhängig mache, wie der Quotient der Reihe aussieht (ich habe da bisher einfach immer versucht die Variable in den Nenner zu nehmen, die als niedrigste Potenz im Quotient der Ausgangsreihe vorkommt) sondern auch den Zähler, also dann nicht 1 DURCH sondern auch mal [mm] \wurzel [/mm] {36} DURCH xy.
Die Frage war, ob ich so an die Vergleichsreihe herangehen muss, also nach dem "perfekten" Zähler und Nenner Ausschau halten muss, wenn die Ausgansreihe ein QUotient ist und vor allem, wie ich da vorgehen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> Ich meine mit den Kriterien Folgerndes: Wenn ich bei Folgen
> so etwas habe wie unendlich durch unendlich oder unendlich
> minus unendlich, dann muss ich die Folge umformen, um etwas
> zu erhalten, wo ich den Grenzwert genauer bestimmen kann.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Klingt richtig!
> Meine Frage ist, ob das bei Reihen genauso der Fall ist.
> Dass ich erst einmal umformen kann, bevor ich so ein
> Kriterium wie das Grenzwertkriterium, das Quotienten- oder
> Qurzelkriterium anwende. Dass ich diese Verfahren nur
> anwende, wenn ich mit umformen der Reihe nicht weiterkomme.
> Ob es also auch bei Reihen möglich ist, nur durch
> Umformungen wie Ausklammern oder Brüche bilden zu einem
> Grenzwert zu gelangen. Denn bei Folgen habe ich ja keine
> Verfahren wie das Grenzwertkriterium.
Bei Reihen ist eine derartige Umformung i.d.R. nicht erforderlich. Es sei denn, Du willst erst einmal den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] der Reihe [mm] $\summe_{n}^{\infty}a_n$ [/mm] untersuchen, ob dieser auch wirklich Null lautet (was ja ein notwendiges Kriterium für die Reihenkonvergenz ist).
Für die Untersuchung der Reihe auf Konvergenz / Divergenz nimmst Du sogleich die bekannten Kriterien wie Quotienten-, Wurzel-, Minoranten-, Majoranten oder Leibniz-Kriterium.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 03.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Hier verstehe ich nicht, was Du meinst ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
