Grenzwerte von Summen & Produk < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Do 24.11.2005 | | Autor: | Fei |
Hallo,
Ich habe das folgende Problem:
Ich soll die Grenzwerte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von den folgenden Folgen bestimmen:
[mm] \bruch{1}{n^{3}} \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(k+1)
und
[mm] \produkt_{k=2}^{n} \bruch{k^{2}}{k^{2}-1}
[/mm]
Leider ist mir völlig ungeläufig, wie ich dies lösen soll, in der Schulmathematik wurde ledig beigebracht, wie die Grenzwerte von Brüchen sind :)
Ich weiß daher leider nicht mal ein Ansatz, wie ich vorgehen sollte, höchstens das [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] in die Summe ziehen, bringt mir aber auch nicht wirklich weiter.
Ich bedanke mich schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fei,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Sieh mal hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]), da habe ich gerade eine "ähnliche" Frage beantwortet.
Aber mit den dortigen Ansätzen solltest Du auch etwas anfangen können, oder?
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 24.11.2005 | | Autor: | Fei |
Hi,
Also erstmal danke für die nette Begrüßung!
Und nochmals danke für deine schnelle Hilfe, damit konnte ich die erste Folge leicht lösen. Leider konnte ich davon nicht schließen wie ich die zweite Folge mit dem Produkt lösen soll, ich vermute mal, ähnlich wie bei der Summe, jedoch befürchte ich, dass ich, falls es eine Formel dafür geben sollte, nicht benutzen darf.
Ich habe mit Polynomdivision folgendes versucht:
[mm] \produkt_{k=2}^{n} \bruch{k^{2}}{k^{2}-1} [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k^{2}-1})
[/mm]
Kann ich nun die Eins rausziehen? Ich befürchte nicht, ist ja ein Produkt...
Danke nochmals!
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Hallo Fei!
> Kann ich nun die Eins rausziehen? Ich befürchte nicht, ist
> ja ein Produkt...
Deine Befürchtung trügt nicht, das darfst Du aus genau diesem Grunde nicht.
Ohne jetzt allzusehr Karl's Antwort vorzugreifen:
[mm] $\produkt_{k=2}^{n}\bruch{k^2}{k^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \produkt_{k=2}^{n}\bruch{k^2}{(k-1)*(k+1)}$
[/mm]
Schreibe Dir mal das Produkt der ersten Glieder auf, da kürzt sich eine Menge weg (bei einer Summe würde man das Teleskopsumme nennen).
Damit verbleibt ein expliziter Ausdruck (also ohne Produktzeichen und ohne $k_$), den Du evtl. mit vollständiger Induktion allgemein nachweisen musst.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Fei,
> [mm]\produkt_{k=2}^{n} \bruch{k^{2}}{k^{2}-1}[/mm]
Es gilt ja:
[mm]\prod\limits_{k = 1}^n k = \prod\limits_{k = 2}^n k = n![/mm]
Was ist, wenn Du das quadrierst? Es gilt ja [mm] $\left(ab\right)^2 =a^2\cdot{b^2}$. [/mm] Das ist auch hier der Fall:
[mm]\left( {\prod\limits_{k = 2}^n k } \right)^2 = \prod\limits_{k = 2}^n {k^2 } = \left( {n!} \right)^2[/mm]
Und jetzt betrachten wir noch folgende Produkte:
[mm]\begin{gathered}
\prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k - 1} \right)} = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot \left( {n - 1} \right) = \left( {n - 1} \right)! \hfill \\
\hfill \\
\prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k + 1} \right)} = 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot \left( {n + 1} \right) = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}
{2} \hfill \\
\hfill \\
\prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k - 1} \right)} \prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k + 1} \right)} = \frac{{\left( {n - 1} \right)!\left( {n + 1} \right)!}}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Das obige Potenzgesetz gilt ja auch für Brüche: [mm] $\frac{1}{ab} [/mm] = [mm] \frac{1}{a}\cdot{\frac{1}{b}}$; [/mm]  Also auch hier:
[mm]\prod\limits_{k = 2}^n {\frac{1}
{{k - 1}}} \cdot \prod\limits_{k = 2}^n {\frac{1}
{{k + 1}}} = \frac{1}
{{\prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k - 1} \right)} }} \cdot \frac{1}
{{\prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k + 1} \right)} }} = \frac{1}
{{\prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k - 1} \right)} \prod\limits_{k = 2}^n {\left( {k + 1} \right)} }} = \frac{2}
{{\left( {n - 1} \right)!\left( {n + 1} \right)!}}[/mm]
Alles in Allem erhalten wir damit:
[mm]\prod\limits_{k = 2}^n {\frac{{k^2 }}
{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}} = \frac{{2n!n!}}
{{\left( {n - 1} \right)!\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{2n!}}
{{\left( {n - 1} \right)!\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{2n}}
{{n + 1}}[/mm]
> Leider ist mir völlig ungeläufig, wie ich dies lösen soll,
> in der Schulmathematik wurde ledig beigebracht, wie die
> Grenzwerte von Brüchen sind :)
Und dieses Wissen wendest Du jetzt bitte an! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Viele Grüße
Karl
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