Grenzwerte von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 12.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | [mm] \summe_{l=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{l}\pi^{4l+2}}{(2l+1)!9*81^{l}}
[/mm]
[mm] \summe_{l=0}^{\infty} \bruch{\pi^{l}}{4^{l}l!}
[/mm]
[mm] \summe_{l=0}^{\infty} \bruch{2^{l}-3^{l}}{2^{2l}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12-4z} [/mm] |
Hallo,
leider habe ich zwei Vorlesungen verpasst und muss deshalb gerade versuchen, den Stoff reinzukriegen.
Das Thema war Reihen, inkl. Taylor und MacLaurin. Einigermaßen versteh ich es, weil in meinem Buch auch gut beschrieben ist, worum es geht.
Aber jetzt bin ich auf diese Aufgaben gestoßen: Aufgabe 1 bis 3 verlangt es, einen Grenzwert dieser Reihen zu berechnen. Da hilft mir mein Buch jetzt leider nicht mehr weiter...
wie setze ich da am besten an? gibt es da einen geeigneten Lösungsweg? Ich hab mit Summen, die bis ins unendliche gehen, bislang noch so gut wie nichts zu tun gehabt.
Aufgabe 4 verlangt es, den Bruch in eine Potenzreihe zu entwickeln. Gibt es da einen genauen Weg mit dem man dazu kommen kann?
Vielen Dank schonmal für alle Hilfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MattiJo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ] !!
Die 3. Aufgabe kannst Du mittels Fomel für die geometrische Reihen lösen, wenn Du zunächst wie folgt umformst:
[mm] $$\bruch{2^{l}-3^{l}}{2^{2*l}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^l}{2^{2*l}}+\bruch{3^l}{2^{2*l}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2^l}+\bruch{3^l}{4^l} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^l+\left(\bruch{3}{4}\right)^l$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 12.11.2007 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | [mm] \summe_{l=0}^{\infty} \bruch{2^{l}-3^{l}}{2^{2l}} [/mm]
= [mm] \summe_{l=0}^{\infty} [/mm] [ [mm] (\bruch{1}{2})^l [/mm] + [mm] (\bruch{3}{4})^l [/mm] ]
= [mm] \summe_{l=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^l [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^l
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-(\bruch{1}{2})^n}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-(\bruch{3}{4})^n}{1-\bruch{3}{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}} [/mm] + = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{4}} [/mm]
= 2 + 4
= 6 |
okay danke für die schnelle antwort und den herzlichen empfang =)
ich habs mal versucht zu lösen...wäre dieser weg dann in dem fall richtig?
viele grüße und danke nochmal ;)
matti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matti!
Das ist richtig so ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !!
Du kannst aber auch gleich die Formel für die unendliche geometrische Reihe verwenden mit:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] \ \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ \ |q|<1$$
Gruß
Loddar
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Hallo MattiJo,
bei der zweiten Reihe wirf mal einen Seitenblick auf die Reihendarstellung der e-Funktion, die hattet ihr bestimmt in der VL.
Und bedenke, dass [mm] $\frac{\pi^l}{4^l}=\left(\frac{\pi}{4}\right)^l$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Hi nochmal,
ich glaube, die 1. Reihe ist eine getarnte Sinus-Reihe, die hattet ihr bestimmt auch:
[mm] $\sin(x)=\sum\limits_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!}\cdot{}x^{2l+1}$
[/mm]
Das [mm] $\frac{(-1)^l}{(2l+1)!}$ [/mm] steht da schon, forme den Rest mal um mit Hilfe der Potenzgesetze, so dass da [mm] $\left(\frac{a}{b}\right)^{2l+1}$ [/mm] steht.
Dann ist das doch genau die Darstellung von [mm] $\sin\left(\frac{a}{b}\right)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Und nochmal hallo 
Bei der letzen Aufgabe würde ich zunächst mal [mm] \frac{1}{4} [/mm] ausklammern und dann das Biest in eine Taylorreihe um [mm] $x_0=0$ [/mm] entwickeln.
Also [mm] $\frac{1}{12-4z}=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{3-z}=:\frac{1}{4}\cdot{}f(z)$
[/mm]
Nun berechne mal ein paar Ableitungen, bis du ein Schema erkennst, das du dann per vollständige Induktion beweisen musst.
Dann die Taylorreihe basteln - schaue im Skript nach der genauen Definition nach
LG
schachuzipus
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