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| Aufgabe | Sei X = [mm] \IR [/mm] , D = [mm] \IQ [/mm] und f(r) = [mm] a^r [/mm] (a > 0 fest [mm] \in \IR).
[/mm]
Man zeige, dass [mm] \lim_{r \to \ 0}f(r) [/mm] = 1.
Hinweis: Nehmen Sie zunächst an, dass a [mm] \ge [/mm] 1.
Zeigen Die, dass es zu Epsilon > 0 ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt, sodass |(a hoch +-1/n) - 1| < Epsilon.
Verwenden Sie dann die Monotonie von r [mm] \rightarrow a^r [/mm] . |
Also ich habe mir mal das überlegt:
[mm]\lim_{r \to \0}a_r = 1
\gdw [/mm] für alle Epsilon > 0, existiert Delta > 0:
für alle t [mm] \in \IQ [/mm] [mm] \{0}, [/mm] |t-0|<Delta: |[mm]a^2[/mm] -1|<Epsilon
Sei Epsilon gegeben: |[mm]a^r[/mm]|<Epsilon
1.Fall:
t=[mm]\left( \bruch{m}{n} \right) \in \IQ ^+[/mm]
[mm]a^\left \bruch{1}{n} \right [/mm] [mm]\to 1 \Rightarrow [/mm] existiert [mm]n_1: |a^\left( \bruch{1}{n} \right)[/mm] -1| < Epsilon für alle n [mm]\ge n_1 [/mm]
[mm] |\left( \bruch{m}{n} \right)| < |\left \bruch{1}{n_1} \right| [/mm]
[mm] m*n_1 < n [/mm]
Fall 1.1:
0<a<1:
(tut mir leid, aber da war es mir schon zu blöd :( )
a hoch [mm] m*n_1 [/mm] > a hoch n
1 > a hoch m/n < 1 - a hoch [mm] 1/n_1
[/mm]
0 < 1 - a hoch m/n < 1 - a hoch [mm] 1/n_1
[/mm]
|1 - a hoch m/n| < |1 - a hoch [mm] 1/n_1| [/mm] < epsilon
Fall 1.2:
a>1:
kommt dasselbe raus wie bei Fall 1.1
[mm]\Rightarrow [/mm] für alle t [mm] \in \IQ ^+ , |t| < |\left( \bruch{1}{n_1} \right)| : |a^t - 1| < Epsilon
[/mm]
2. Fall:
t=[mm]\left( \bruch{-m}{n} \right) \in \IQ ^-[/mm]
..... w.o.
[mm] m*n_2 < n [/mm]
2.1. Fall:
0<a<1: wie 1.1. Fall
2.2. Fall:
a>1: wie 1.2. Fall
[mm]\Rightarrow [/mm] für alle t [mm] \in \IQ ^- , |t| < |\left( \bruch{1}{n_2} \right)| : |a^t - 1| < Epsilon
[/mm]
Delta = min von [mm]{|\left( \bruch{1}{n_1} \right)| und |\left( \bruch{1}{n_2} \right)|} [/mm]
habe ich es damit gezeigt oder fehlt da noch was??
Bitte um Hilfe!
Danke im Voraus!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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