Grenzwerte von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | In welchen Punkten x [mm] \in \IR [/mm] ist f unstetig?
[mm] f(x)=(x^2-4)/(x-2) [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 2
0 für x=2
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Hi!
Bin total verzweifelt, ich weiß nicht wie ich das lösen soll. Ein Grund dafür ist, dass ich von dem Sachgebiet noch nie was im Unterricht gehört habe.
Ich bitte inständig um eure hilfe.
Lg Aeryn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aeryn!
Damit eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] steteig muss folgendes gelten:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$
[/mm]
In Worten: der linksseitige und der rechtsseitig Grenzwert müssen existieren und übereinstimmen. Ebenso muss damit auch der entsprechende Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] übereinstimmen.
Bei Deiner Funktion ist der einzige kritische Punkt bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ , da eine Komposition aus stetigen Funktionen ebenfalls wieder stetig ist.
Um sich hier die Arbeit etwas zu vereinfachen, kann man den Funktionsterm für [mm] $x\not=2$ [/mm] vereinfachen zu:
[mm] $\bruch{x^2-4}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x+2)*(x-2)}{(x-2)} [/mm] \ = \ x+2$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Aeryn |
setz ich nun x=0 ein, berechne das ergebnis und fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich bin mir ziemlich sicher, dass die Funktion überall stetig ist. Der Grund dafür ist, dass ich zunächst die Kürzungsvorgehensweise vom Loddar verwende. Dann hat man noch
$f(x) = x + 2$
Und diese Funktion ist nach Analysis I eine stetige Funktion, undzwar auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] d.h. sie lässt sich in den Punkt (0,2) stetig fortsetzten (da sie laut Aufgabenstellung in 2 nicht definiert war) und man erhält somit eine stetige Funktion, ohne Unstetigkeitsstellen! .
Ciao
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Hallo Denny22,
Die Funktion läßt sich stetig fortsetzen wg. [mm] f(2)=0\not=4 [/mm] ist sie aber nicht stetig.
viele Grüße
mathemaduenn
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