Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 16.03.2008 | | Autor: | manmath |
Die Frage/Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Mit dieser Aufgabe komme ich bei der Klausurvorbereitung nicht weiter:
Sei die Folge [mm] x_{n} [/mm] definiert durch die Rekursionsformel
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{x_{n} + 2} [/mm] mit [mm] x_{1} [/mm] = a und 0 < a < 2
Zeige: a) Die Folge ist nach oben beschränkt durch 2
b) Die Folge ist streng monoton wachsend
Lösungsidee:
zu a)
wegen a [mm] \in [/mm] (0,2) ist sup a = 2 und inf a = 0
supremum von an in die Folge eingesetzt gibt:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + 2} [/mm] = 2
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + 2} [/mm] = 2
usw
Für das Supremum von a konvergiert die Folge gegen 2, alle anderen Werte von a sind kleiner, nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass muss die Folge für kleine a gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Lösungsidee zu b)
nach dem Satz von Archimedes wird jede reelle Zahl von einer natürlichen Zahl übertroffen und ich kann den Wertebereich von a (0,2) durch die natürlichen Zahlen (mit 0) 0,1,2 ersetzen , links in der Ungleichung steht [mm] x_1 [/mm] rechts [mm] x_2:
[/mm]
0 < [mm] \wurzel{0 + 2}
[/mm]
1 < [mm] \wurzel{1 + 2}
[/mm]
2 < [mm] \wurzel{2 + 2}
[/mm]
Diese Ungleichungen sind erfüllt.
Sind das Beweise für a) und b)?
Wenn a) und b) bewiesen sind, dann existiert ein Grenzwert für die Folge.
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Ich denke, a) ist so okay. Man könnte es auch mit Induktion lösen:
IA: [mm] x_{1} [/mm] = a < 2. w.A.
IV: ...
IS. n [mm] \to [/mm] n+1
IB: Es ist
[mm] \wurzel{x_{n+1}+2} [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{x_{n}+2}+2}.
[/mm]
Wegen IV gilt: [mm] \wurzel{x_{n}+2} [/mm] < 2, und dann ist auch
[mm] \wurzel{\wurzel{x_{n}+2}+2} [/mm] = [mm] \wurzel{'<2' + 2} [/mm] = [mm] \wurzel{'<4'} [/mm] < 2.
Bei b) weiß ich ehrlich gesagt nicht, was du da zeigst. Wieso du insbesondere das a plötzlich als Folgenargument n nimmst. Ich lasse die Frage mal noch unbeantwortet stehen, vielleicht kennt sich da jemand besser aus 
Ich würde es so machen: Falls [mm] x_{n+1}>x_{n}, [/mm] ist die Folge monoton wachsend.
Es ist
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{x_{n}+2} [/mm] > [mm] x_{n}
[/mm]
Die folgende Quadrierung ist legitim da [mm] x_{n} [/mm] trivialerweise immer größer 0.
[mm] \gdw x_{n}+2 [/mm] > [mm] x_{n}^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 > [mm] x_{n}^{2} [/mm] - [mm] x_{n} [/mm] - 2
[mm] \gdw [/mm] 0 > [mm] \left(x_{n} - \bruch{1}{2}\right)^{2} [/mm] - [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
Dies ist offenbar erfüllt, da [mm] x_{n} [/mm] nach oben beschränkt durch 2 und somit die Klammer höchstens im Unendlichen den Wert [mm] \bruch{9}{4} [/mm] annimmt.
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> Sei die Folge [mm]x_{n}[/mm] definiert durch die Rekursionsformel
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{x_{n} + 2}[/mm] mit [mm]x_{1}[/mm] = a und 0 < a < 2
>
> Zeige: a) Die Folge ist nach oben beschränkt durch 2
> b) Die Folge ist streng monoton wachsend
>
> Lösungsidee:
> zu a)
>
> wegen a [mm]\in[/mm] (0,2) ist sup a = 2 und inf a = 0
>
> supremum von an in die Folge eingesetzt gibt:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{2 + 2}[/mm] = 2
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{2 + 2}[/mm] = 2
> usw
> Für das Supremum von a konvergiert die Folge gegen 2, alle
> anderen Werte von a sind kleiner, nach dem Satz von
> Bolzano-Weierstrass muss die Folge für kleine a gegen
> denselben Grenzwert konvergieren.
Hallo,
ich verstehe in Ansätzen die Idee, die Du verfolgen möchtest:
Du betrachtest die Folgen
[mm] (a_n^{[2]} [/mm] mit dem Startwert 2
[mm] (a_n^{[a]} [/mm] mit dem Startwert a [mm] \in [/mm] (0,2) und
[mm] (a_n^{[0]} [/mm] mit dem Startwert 0.
Du sagst: für alle n gilt [mm] (a_n^{[2]}\ge (a_n^{[a]} \ge (a_n^{[0]} [/mm] .
Das ist eine bisher unbewiesene Behauptung - also noch eine Baustelle.
Nicht klar ist mir, wie Du den Satz v. Bolzano-Weierstraß hier unterbringst. (Welchen Satz meinst Du eigentlich genau?)
Eine recht bequeme Lösung mit Induktion hat Dir steppenhahn ja gezeigt.
> Lösungsidee zu b)
Der kann ich nicht folgen.
Man rechnet hier [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] aus und guckt nach, ob's immer [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 18.03.2008 | | Autor: | manmath |
danke für den Tip mit der vollständigen Induktion, damit versuch ich es jetzt nach euren Vorgaben:
zu a)
[mm] x_{1} [/mm] = a < 2
damit:
IV: [mm] x_{n} [/mm] < 2
IS n Rightarrow n+1
IB:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{x_{n} + 2}
[/mm]
nach IV ist [mm] x_{n} [/mm] < 2 und damit auch [mm] x_{n+1} [/mm] (sieht man auch durch quadrieren)
also ist die Folge [mm] x_{n} [/mm] nach oben beschränkt durch 2
zu b)
IV
[mm] \bruch{x_{2}}{x_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{a+2}}{a} [/mm] > 1
denn die Gleichung quadriert (schlecht mit dem Formeleditor) gibt rechts
1 + [mm] \bruch{2}{a} [/mm] und das ist immer > 1
also ist [mm] x_{n+1} [/mm] > [mm] x_{n} [/mm]
IB:
[mm] x_{n+2}^{2} [/mm] - [mm] x_{n+1}^{2} [/mm] = [mm] x_{n+1} [/mm] + 2 - [mm] x_{n} [/mm] - 2
nach IV ist damit auch [mm] x_{n+2} [/mm] > [mm] x_{n+1}
[/mm]
also ist die Folge [mm] x_{n} [/mm] streng monoton wachsend.
richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 18.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo manmath!
Du musst aufpassen. Das Quadreiren einer (un-)Gleichung ist keine Äquivalenzumformung! Von daher - soweit möglich - auf diese Methode verzichten.
> IB: [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{x_{n} + 2}[/mm]
>
> nach IV ist [mm]x_{n}[/mm] < 2 und damit auch [mm]x_{n+1}[/mm] (sieht man
> auch durch quadrieren)
Schätze doch einfach mal mit der Induktionsvoraussetzung [mm] $x_n [/mm] \ < \ 2$ ab:
[mm] $$x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\red{x_n}+2} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \wurzel{\red{2}+2} [/mm] \ = \ ...$$
> zu b)
> IV [mm]\bruch{x_{2}}{x_{1}}[/mm]=[mm]\bruch{\wurzel{a+2}}{a}[/mm] > 1
>
> denn die Gleichung quadriert, gibt rechts
Auch hier auf Quadrieren verzichten und umformen bzw. Einsetzen:
[mm] $$x_2-x_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a+2}-a [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a+2-a^2}{\wurzel{a+2}+a} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{(\red{a}-2)*(\red{a}+1)}{\wurzel{a+2}+a} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] -\bruch{(\red{2}-2)*(\red{2}+1)}{\wurzel{a+2}+a} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{0}{\wurzel{a+2}+a} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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