Grenzwerte und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | BEstimme die Grenzwerte der angegebenenden Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] und bestimme zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] N(\epsilon) [/mm] mit [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n>=N(\epsilon). [/mm] Setzte speziell [mm] \epsilon=1/100.
[/mm]
a) [mm] a_n=(n^2+n+3)/(n^2+1) [/mm] , [mm] n\in \doubleN
[/mm]
b) [mm] b_n=(n^2-1)/(3n^2+1) [/mm] , [mm] n\in\doubleN [/mm] |
Ich hab zu beiden Folgen den Grenzwert (a=1 und b=1/3). Vermutlich muss man jetzt irgendwas abschätzen,a ber ich komm einfach nicht drauf, wie das funktionieren soll :(
Hat jemand ne Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> BEstimme die Grenzwerte der angegebenenden Folgen [mm](a_n)[/mm] und
> [mm](b_n)[/mm] und bestimme zu jedem [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]N(\epsilon)[/mm] mit
> [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n>=N(\epsilon).[/mm] Setzte speziell
> [mm]\epsilon=1/100.[/mm]
> a) [mm]a_n=(n^2+n+3)/(n^2+1)[/mm] , [mm]n\in \doubleN[/mm]
> b)
> [mm]b_n=(n^2-1)/(3n^2+1)[/mm] , [mm]n\in\doubleN[/mm]
> Ich hab zu beiden Folgen den Grenzwert (a=1 und b=1/3).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wie hast Du denn diese Grenzwerte berechnet?
> Vermutlich muss man jetzt irgendwas abschätzen,a ber ich
> komm einfach nicht drauf, wie das funktionieren soll :(
> Hat jemand ne Idee?
Ja. Fang' mal an, [mm] $|a_n-a|$ [/mm] bzw. [mm] $|b_n-b|$ [/mm] hinzuschreiben. Wenn Du magst,
behandeln wir vielleicht zunächst mal die erste Aufgabe, also Teil a):
[mm] $$|a_n-a|=|\tfrac{n^2+n+3}{n^2+1}-1|=|...|$$ [/mm]
Wenn es zu dringend wird, kannst Du auch schonmal hier (klick!)
spicken. Wenn Du sagst, dass Du das dortige nun alles verstanden hast,
dann machen wir hier direkt mit dem Teil b) weiter! Okay?
Gruß,
Marcel
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Zu dem Link, dass ist genau die gleiche Aufgabe...hab den Grenzwert genaus so berechnet wie dort angegeben.
also auch [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert und dann mit limes...
Ich hab mal mit dem Hinweis von dort weitergerechnet:
[mm] (n+2)/(n^2+1)<=2n/n^2<\epsilon
[/mm]
dann hab ich für [mm] \epsilon [/mm] den gegebenden Wert eingesetzt:
[mm] 2N/N^2<1/100
[/mm]
und nach Umformungen bekomm ich dann N>200.
Kann das sein?
Bei b) hab ich den Grenzweet genauso ausgerechnet:
[mm] b_n=(n^2-1)/(3n^2+1)=(n^2(1-1/n^2))/(n^2(3+1/n^2))=(1-1/n^2)/(3+^/n^2)
[/mm]
und dann lim [mm] b_n=1/3
[/mm]
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Hallo Kathi-Maria,
> Zu dem Link, dass ist genau die gleiche Aufgabe...hab den
> Grenzwert genaus so berechnet wie dort angegeben.
> also auch [mm]n^2[/mm] ausgeklammert und dann mit limes...
> Ich hab mal mit dem Hinweis von dort weitergerechnet:
> [mm](n+2)/(n^2+1)<=2n/n^2<\epsilon[/mm]
> dann hab ich für [mm]\epsilon[/mm] den gegebenden Wert
> eingesetzt:
> [mm]2N/N^2<1/100[/mm]
> und nach Umformungen bekomm ich dann N>200.
> Kann das sein?
Ja, klar.
> Bei b) hab ich den Grenzweet genauso ausgerechnet:
>
> [mm]b_n=(n^2-1)/(3n^2+1)=(n^2(1-1/n^2))/(n^2(3+1/n^2))=(1-1/n^2)/(3+^/n^2)[/mm]
> und dann lim [mm]b_n%3D1%2F3[/mm]
Auch das ist richtig.
Grüße
reverend
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Gut...jetzt hab ich aber immernoch das Problem, dass ich bei b) keinen blassen Schimmer habe, wie die Abschätzungen sein könnten :(
Ich hab bis jetzt folgendes:
[mm] |a_n-a|=|(n^2-1)/(3n^2+1)-1/3|=|(n^2-1)/(3n^2+1)-(n^2+1/3)/3(n^2+1/3) |=|(n^2-1-n^2-1/3)/(3n^2+1)|=|-(4/3)/(3n^2+1)|<ϵ
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut...jetzt hab ich aber immernoch das Problem, dass ich
> bei b) keinen blassen Schimmer habe, wie die Abschätzungen
> sein könnten :(
> Ich hab bis jetzt folgendes:
>
> [mm] $|a_n-a|$
[/mm]
na, da sollte nun [mm] $|b_n-b|$ [/mm] stehen. Aber das ist nicht wesentlich, wir wissen
ja, an welcher Folge Du arbeitest!
> [mm]=|(n^2-1)/(3n^2+1)-1/3|=|(n^2-1)/(3n^2+1)-(n^2+1/3)/\red{(}3(n^2+1/3)\red{)} |[/mm]
Soweit ist das okay - Du solltest die roten Klammern ergänzen! Aber warum
rechnest Du nicht einfach den Hauptnenner direkt zu [mm] $3*(3n^2+1)$ [/mm] aus? Irgendwie
rechnest Du "umständlich"!
> [mm]=|(n^2-1-n^2-1/3)/(3n^2+1)|=|-(4/3)/(3n^2+1)|[/mm]
Auch das ist alles okay, schreibe nun
[mm] $$=|-(4/3)/(3n^2+1)|=\frac{4}{3}*\frac{1}{3n^2+1}\,.$$ [/mm]
Nun pass' auf: Wenn Du eine Folge [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] mit [mm] $r_n [/mm] > 0$ so findest, dass Du hier schon
ein $N$ angeben kannst, so dass [mm] $r_n [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ ist und zudem sollte
stets [mm] $\tfrac{4}{3}*\tfrac{1}{3n^2+1}\le a_n$ [/mm] gelten, so kannst Du das [mm] $N\,,$ [/mm] welches Du bzgl. [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] gefunden hast,
verwenden. (Klar?) Solch' eine einfache Überlegung steckt oft einfach
hinter dem "Sinn der Abschätzungen", die man bei solchen Aufgaben
macht!
Was kann Dir hier nun helfen? [mm] $\frac{1}{3n^2+1} \le \frac{1}{3n^2} \le \frac{1}{3n}$ $\left(\le \frac{1}{n}\right)\,$ [/mm] beispielweise!
(Begründe diese Abschätzungen!)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Gut...jetzt hab ich aber immernoch das Problem, dass ich
> > bei b) keinen blassen Schimmer habe, wie die Abschätzungen
> > sein könnten :(
> > Ich hab bis jetzt folgendes:
> >
> > [mm]|a_n-a|[/mm]
>
> na, da sollte nun [mm]|b_n-b|[/mm] stehen. Aber das ist nicht
> wesentlich, wir wissen
> ja, an welcher Folge Du arbeitest!
Sorry, ich hab das aus nem Word rauskopiert, weil ich hier die Betragsstriche nciht gefunden hab und da stand von vorher noch [mm] a_n-a...hab [/mm] da nciht aufgepasst
>
> >
> [mm]=|(n^2-1)/(3n^2+1)-1/3|=|(n^2-1)/(3n^2+1)-(n^2+1/3)/\red{(}3(n^2+1/3)\red{)} |[/mm]
>
> Soweit ist das okay - Du solltest die roten Klammern
> ergänzen! Aber warum
> rechnest Du nicht einfach den Hauptnenner direkt zu
> [mm]3*(3n^2+1)[/mm] aus? Irgendwie
> rechnest Du "umständlich"!
>
> > [mm]=|(n^2-1-n^2-1/3)/(3n^2+1)|=|-(4/3)/(3n^2+1)|[/mm]
>
> Auch das ist alles okay, schreibe nun
> [mm]=|-(4/3)/(3n^2+1)|=\frac{4}{3}*\frac{1}{3n^2+1}\,.[/mm]
>
Okay, den schritt hätt ich eigentlich auch noch machen können 
> Nun pass' auf: Wenn Du eine Folge [mm]{(r_n)}_n[/mm] mit [mm]r_n > 0[/mm] so
> findest, dass Du hier schon
> ein [mm]N[/mm] angeben kannst, so dass [mm]r_n < \epsilon[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm]
> ist und zudem sollte
> stets [mm]\tfrac{4}{3}*\tfrac{1}{3n^2+1}\le a_n[/mm] gelten, so
> kannst Du das [mm]N\,,[/mm] welches Du bzgl. [mm]{(r_n)}_n[/mm] gefunden
> hast,
> verwenden. (Klar?) Solch' eine einfache Überlegung steckt
> oft einfach
> hinter dem "Sinn der Abschätzungen", die man bei solchen
> Aufgaben
> macht!
>
> Was kann Dir hier nun helfen? [mm]\frac{1}{3n^2+1} \le \frac{1}{3n^2} \le \frac{1}{3n}[/mm]
> [mm]\left(\le \frac{1}{n}\right)\,[/mm] beispielweise!
> (Begründe diese Abschätzungen!)
>
Die Abschätzung lässt sich eigentlich durch die Kehrwerte und entsprechende umgekehrten <= Zeichen begründen...udn ich weiß, dass 1/n gegen 0 konvergiert, aber was mach ich mit den 4/3? Weil ich kann ja nicht davon ausgehen, dass [mm] 4/3*1/(3n^2+1) [/mm] <= 1/n, nur weil [mm] 1/(3n^2+1)<= [/mm] 1/n gilt.
ansonsten hätt ich die Folge jetzt durch eine konvergente Folge von oben beschränkt und dadurch wäre [mm] b_n [/mm] auch konvergent (da gabs doch irgendwas, oder?)
Grüße,
Kate
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kate,
> > Hallo,
> >
> > > Gut...jetzt hab ich aber immernoch das Problem, dass ich
> > > bei b) keinen blassen Schimmer habe, wie die Abschätzungen
> > > sein könnten :(
> > > Ich hab bis jetzt folgendes:
> > >
> > > [mm]|a_n-a|[/mm]
> >
> > na, da sollte nun [mm]|b_n-b|[/mm] stehen. Aber das ist nicht
> > wesentlich, wir wissen
> > ja, an welcher Folge Du arbeitest!
>
> Sorry, ich hab das aus nem Word rauskopiert, weil ich hier
> die Betragsstriche nciht gefunden hab und da stand von
> vorher noch [mm]a_n-a...hab[/mm] da nciht aufgepasst
macht nix!
> > >
> >
> [mm]=|(n^2-1)/(3n^2+1)-1/3|=|(n^2-1)/(3n^2+1)-(n^2+1/3)/\red{(}3(n^2+1/3)\red{)} |[/mm]
>
> >
> > Soweit ist das okay - Du solltest die roten Klammern
> > ergänzen! Aber warum
> > rechnest Du nicht einfach den Hauptnenner direkt zu
> > [mm]3*(3n^2+1)[/mm] aus? Irgendwie
> > rechnest Du "umständlich"!
> >
> > > [mm]=|(n^2-1-n^2-1/3)/(3n^2+1)|=|-(4/3)/(3n^2+1)|[/mm]
> >
> > Auch das ist alles okay, schreibe nun
> > [mm]=|-(4/3)/(3n^2+1)|=\frac{4}{3}*\frac{1}{3n^2+1}\,.[/mm]
> >
> Okay, den schritt hätt ich eigentlich auch noch machen
> können
> > Nun pass' auf: Wenn Du eine Folge [mm]{(r_n)}_n[/mm] mit [mm]r_n > 0[/mm]
> so
> > findest, dass Du hier schon
> > ein [mm]N[/mm] angeben kannst, so dass [mm]r_n < \epsilon[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm]
> > ist und zudem sollte
> > stets [mm]\tfrac{4}{3}*\tfrac{1}{3n^2+1}\le a_n[/mm] gelten, so
> > kannst Du das [mm]N\,,[/mm] welches Du bzgl. [mm]{(r_n)}_n[/mm] gefunden
> > hast,
> > verwenden. (Klar?) Solch' eine einfache Überlegung
> steckt
> > oft einfach
> > hinter dem "Sinn der Abschätzungen", die man bei solchen
> > Aufgaben
> > macht!
> >
> > Was kann Dir hier nun helfen? [mm]\frac{1}{3n^2+1} \le \frac{1}{3n^2} \le \frac{1}{3n}[/mm]
> > [mm]\left(\le \frac{1}{n}\right)\,[/mm] beispielweise!
> > (Begründe diese Abschätzungen!)
> >
>
> Die Abschätzung lässt sich eigentlich durch die Kehrwerte
> und entsprechende umgekehrten <= Zeichen begründen...
Beispielsweise - aber ich würde es lieber etwa so machen:
[mm] $$\frac{1}{3n^2+1} \le \frac{1}{3n^2} \iff 3n^2*\frac{1}{3n^2+1} \le [/mm] 1 [mm] \iff 3n^2 \le 3n^2+1\,.$$
[/mm]
Die rechte Ungleichung ist offensichtlich, durch Verfolgen der [mm] $\Longleftarrow$'s [/mm]
folgt die behauptete Ungleichung ganz links. Der Grund ist: Hier denkt
man eher auch über Vorzeichen nach! Z.B. gilt $a < b [mm] \iff \tfrac{a}{b} [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] sofern denn
etwa $b < [mm] 0\,$ [/mm] ist!
> udn
> ich weiß, dass 1/n gegen 0 konvergiert, aber was mach ich
> mit den 4/3? Weil ich kann ja nicht davon ausgehen, dass
> [mm]4/3*1/(3n^2+1)[/mm] <= 1/n, nur weil [mm]1/(3n^2+1)<=[/mm] 1/n gilt.
[mm] $$\frac{1}{3n^2+1} \le \frac{1}{n} \Longrightarrow \frac{4}{3}*\frac{1}{3n^2+1} \le \frac{4}{3}*\frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Macht's Klick? (Du kannst auch meinetwegen noch $4/3 [mm] \le [/mm] 2$ benutzen...)
Und es gilt auch auch $4/3*1/n [mm] \to 0\,,$ [/mm] aber es reicht nun doch einfach,
ein [mm] $N\,$ [/mm] so zu finden, dass
[mm] $$\frac{4}{3}*\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Warum? (Dann folgt schon für alle $n [mm] \ge [/mm] N$...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Kate-Mary |
O Mann, da bin ich ja echt auf der Leitung gestanden -.-
Okay, wenn ich jetzt [mm] 473*1/N<1/\epsilon=1/100
[/mm]
ausrechne komme ich auf N>400/3 also N z.B. 134
Danke euch allen :)
Liebe Grüße,
Kate
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> O Mann, da bin ich ja echt auf der Leitung gestanden -.-
ich hoffe, ich habe Dich nicht zu unsanft weggeschubst ^^
> Okay, wenn ich jetzt [mm]473*1/N<1/\epsilon=1/100[/mm]
Du meinst [mm] $4/3*1/N\,.$ [/mm] Du hast wohl einfach die Shift-Taste bei der 7
nicht gedrückt!
> ausrechne komme ich auf N>400/3 also N z.B. 134
> Danke euch allen :)
Gerne!
Liebe Grüße zurück,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu dem Link, dass ist genau die gleiche Aufgabe...
deswegen habe ich ja auch geschrieben "falls es dringend ist"!
> hab den
> Grenzwert genaus so berechnet wie dort angegeben.
> also auch [mm]n^2[/mm] ausgeklammert und dann mit limes...
> Ich hab mal mit dem Hinweis von dort weitergerechnet:
> [mm](n+2)/(n^2+1)<=2n/n^2<\epsilon[/mm]
> dann hab ich für [mm]\epsilon[/mm] den gegebenden Wert
> eingesetzt:
> [mm]2N/N^2<1/100[/mm]
Das darfst umschreiben zu
[mm] $$\iff [/mm] 2/N < 1/100$$
> und nach Umformungen bekomm ich dann N>200.
> Kann das sein?
Ja - nur: Sag' uns doch mal ein konretes $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit $N > 200$!
> Bei b) hab ich den Grenzweet genauso ausgerechnet:
>
> [mm]b_n=(n^2-1)/(3n^2+1)=(n^2(1-1/n^2))/(n^2(3+1/n^2))=(1-1/n^2)/(3+^/n^2)[/mm]
> und dann lim [mm]b_n=1/3[/mm]
Und kannst Du nun EIN [mm] $N\,$ [/mm] zu [mm] $\varepsilon=1/100$ [/mm] ($> 0$) benennen, wie es
die Aufgabe auch verlangt?
Gruß,
Marcel
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> Ja - nur: Sag' uns doch mal ein konretes [mm]N \in \IN[/mm] mit [mm]N > 200[/mm]!
>
also ein N>200 wäre ja dann zB. N=201.
zu b) Ich hatte in der zwischen Zeit schon geantwortet und meine Umformungen aufgeschrieben. Mein Porblem ist jetzt wenn ich in das, was ich schon habe [mm] \epsilon=1/100 [/mm] einsetzte, dann komm ich nciht weiter. also müssten da wahrscheinlich ncoh irgendwelche Abschätzungen kommen...ode rich war einfach zu blöd zum umformen...vorher schon oder dann eben mit [mm] \epsilon=1/100
[/mm]
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Hallo,
> > Ja - nur: Sag' uns doch mal ein konretes [mm]N \in \IN[/mm] mit [mm]N%20%3E%20200[/mm]!
>
> >
> also ein N>200 wäre ja dann zB. N=201.
Genau!
>
> zu b) Ich hatte in der zwischen Zeit schon geantwortet und
> meine Umformungen aufgeschrieben. Mein Porblem ist jetzt
> wenn ich in das, was ich schon habe [mm]\epsilon=1/100[/mm]
> einsetzte, dann komm ich nciht weiter. also müssten da
> wahrscheinlich ncoh irgendwelche Abschätzungen
> kommen...ode rich war einfach zu blöd zum
> umformen...vorher schon oder dann eben mit [mm]\epsilon=1/100[/mm]
Dazu schreibt Marcel gerade eine Antwort - warten wir die mal ab ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Di 23.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> [...] müssten da
> wahrscheinlich ncoh irgendwelche Abschätzungen
> kommen... oder ich war einfach zu blöd zum
> umformen...
Gewöhn Dir diesen Gedanken ab. Du bist nicht zu blöd, egal wofür. Vielleicht fehlt Dir noch Wissen, vielleicht Erfahrung. Das findet sich mit der Zeit, wenn Du daran arbeitest.
Was auch immer Dir wer auch immer wann auch immer gesagt hat: zu blöd bist Du garantiert nicht. Einfach weil man das nicht sein kann.
Und ganz nebenbei - Du machst auch gar nicht den Eindruck, als müsstest Du Dir das sagen (oder sagen lassen). Lass es Dir also auch nicht einreden, sondern lerne nach Deiner eigenen Lust und Laune.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 23.04.2013 | | Autor: | Kate-Mary |
Das hab ich schon öfter gehört...ich ärger mich nur immer über mich selbst, weil ich das eigentlich schon alles können sollte (bei mir Analysis 1 nur einfach schon 3 Jahre her und man vergisst so viel :( )
Liebe Grüße,
Kate
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